Fundamentale Sätze

Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
4.7 Prädikatenlogik – Fundamentale Sätze
Fundamentale Sätze
versuche folgendes:
• gib eine Formelmenge Φ an, so dass Mod(Φ) = {(R, +, ∗)}
• gib eine Formelmenge Φ an, so dass Mod(Φ) = {(N, +, ∗)}
• formalisiere in FO ohne Gleichheit: “es gibt genau 3 Elemente
im Universum”
interessante Folgerungen aus Satz von Herbrand:
• abzählbare Modelle (Satz von Löwenheim-Skolem)
• Kompaktheit
• Unbeschränktheit von Modellen (aufsteigender Satz von
Löwenheim-Skolem)
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Abzählbarkeit
Def.: Eine Menge M ist höchstens abzählbar unendlich groß, wenn
es eine injektive Abbildung κ : M → N gibt.
intuitiv: höchstens die Kardinalität von N
Bsp.: was sind (über)abzählbare große Mengen?
• höchstens abzählbar groß sind: (jede Teilmenge von) N, Z,
Z × (N \ {0}), Q, Nk für jedes k ∈ N, N∗ , . . .
• überabzählbar große Mengen sind: (jede Obermenge von) R,
2N , Σω mit |Σ| ≥ 2, . . .
Theorem 26
Die Menge aller Grundterme über einer Signatur mit höchstens
abzählbar unendlich vielen Funktionssymbolen ist höchstens
abzählbar unendlich groß.
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Satz von Löwenheim-Skolem
Theorem 27
Jeder erfüllbare FO[=, τ ]-Formel hat ein höchstens abzählbar
unendlich großes Modell.
Beweis: Sei ϕ erfüllbar. Nach Thm. 20 gibt es erfüllbares ψ in
Skolem-NF. Sei A |= ψ.
Nach Beweis von Thm. 25 gibt es erfüllbaren Herbrand-Abschluss
Ψ von ψ. Sei IA |= Ψ. Nach dem anderen Teil dieses Beweises hat
ψ dann auch ein Modell der Form HIA /∼.
Nach Thm. 20 gilt auch HIA /∼ |= ϕ. Nach Thm. 26 ist HIA
höchstens abzählbar unendlich groß, also insbesondere auch
HIA /∼.
�
Kor.: Es gibt keine endliche Menge Φ von FO[=, τ ]-Formeln (für
beliebiges τ ), so dass Mod(Φ) = {R}
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Kompaktheit der Prädikatenlogik
Theorem 28
Menge Φ von FO∀ [=, τ ]-Formeln ist erfüllbar gdw. jede endliche
Teilmenge von Φ erfüllbar ist.
Beweis: “⇒” Trivial. “⇐” Sei Φ unerfüllbare Menge von
FO∀ [=, τ ]-Sätzen. Nach Thm. 25 ist jeder Herbrand-Abschluss
davon unerfüllbar. Sei ∆ ein solcher. (Beachte: Es gibt mind.
einen!) Nach Kompaktheit der Aussagenlogik gibt es unerfüllbares
Γ ⊆fin ∆. Betrachte
Ψ := {∀x̄ ψ ∈ Φ | es gibt Grundterme t̄ mit ψ[t̄/x̄] ∈ Γ}
Offensichtlich ist Ψ ⊆fin Φ. Sei
Γ� := {ϕ[t̄ � /x̄] | es gibt ϕ[t̄/x̄] ∈ Γ, t̄ � beliebig }
Da Γ� ⊇ Γ, ist Γ� auch unerfüllbar. Nach Thm. 25 ist Ψ
unerfüllbar.
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Anwendung: Nicht-Standardmodelle der Arithmetik
unter “Arithmetik” versteht man die Theorie der natürlichen
Zahlen mit Addition und Multiplikation
“Standardmodell” der Arithmetik ist (N, +, ∗)
ebenso ein Standardmodell ist
({c, f (c), f (f (c)), f (f (f (c))), . . .}, +, ∗), wobei für alle x, y :
• c + y := y und f (x) + y := f (x + y )
• c ∗ y := c und f (x) ∗ y := y + (x ∗ y )
“Nicht-Standardmodell” ist Struktur, die nicht isomorph zu
(N, +, ∗) ist
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Existenz von Nicht-Standardmodellen
Theorem 29
Sei Φ Menge von FO[=, +, ∗]-Formeln, so dass
(N, +, ∗) ∈ Mod(Φ). Dann enthält Mod(Φ) Strukturen, die nicht
isomorph zu (N, +, ∗) sind.
Vorbereitung:
.
• 0 ist definierbar: schreibe ϕ(0) für ∃x.x + x = x ∧ ϕ(x)
• jedes weitere k ist definierbar: schreibe ϕ(k + 1) für
.
∃x ∀y .(y < x ∧ ¬∃z(y < z ∧ z < x) → x = k) ∧ ϕ(x)
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Existenz von Nicht-Standardmodellen
Beweis von Thm. 29: Sei solch ein Φ gegeben. Sei c neues
Konstantensymbol. Betrachte
Ψ := Φ ∪ {0 < c, 1 < c, 2 < c, . . .}
klar: jede endliche Teilmenge von Ψ ist erfüllbar (in welchem
Modell z.B.?)
nach Thm. 28 hat auch Ψ ein Modell A. Offensichtlich ist A nicht
isomorph zu (N, +, ∗) sein, denn in A ist c echt größer als
0, 1, 2, . . ..
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Aufsteigender Satz von Löwenheim-Skolem
Theorem 30
Sei ϕ FO[τ ]-Satz, A = (U, τ A ) |= ϕ und V so, dass es surjektives
ι : V → U gibt. Dann gibt es B = (V , τ B ), so dass B |= ϕ.
Beweisidee: Sei ι−1 : U → V , so dass ι(ι−1 (u)) = u für alle
u ∈ U. Konstruiere B durch
(b1 , . . . , bn ) ∈ R B
gdw.
(ι(b1 ), . . . , ι(bn )) ∈ R A
f B (b1 , . . . , bn ) = ι−1 (f A (ι(b1 ), . . . , ι(bn )))
Per Induktion über ψ zeigt man, dass für alle ψ und alle ϑ gilt:
B, ϑ |= ψ gdw. A, ι ◦ ϑ |= ψ. Daraus folgt die Behauptung.
�
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Keine Einschränkung der Modellgrößen
beachte: obiger Satz gilt nur für FO ohne Gleichheit
Übung: wo scheitert der Beweis, wenn Gleichheit vorhanden ist?
Kor.: Es gibt kein endliches Φ über beliebigem τ , so dass
Mod(Φ) = {(A, τ ) | |A| = 3}.
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Aufsteigender Löwenheim-Skolem-Satz mit Gleichheit
Theorem 31
Sei ϕ FO[=, τ ]-Satz, der in einem unendlichen Modell erfüllt ist.
Dann gibt es zu jeder Menge M eine Struktur AM mit einem
Universum M � , so dass AM |= ϕ und |M � | ≥ |M|.
Beweis: Sei M gegeben und sei {cm | m ∈ M} Menge von
paarweise verschiedenen Konstantensymblen, die nicht in ϕ
auftreten. Betrachte die Formelmenge
.
Φ := {ϕ} ∪ {¬(cn = cm ) | n, m ∈ M, m �= n}
Beachte: Thm. 31 ist bewiesen, wenn gezeigt werden kann, dass Φ
erfüllbar ist. Wegen Kompaktheit reicht es aus zu zeigen, dass jede
endliche Teilmenge erfüllbar ist. Jede Teilmenge, die ϕ nicht
enthält, ist offensichtlich erfüllbar.
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Beweis des aufst. Löwenheim-Skolem-Satzes
Es reicht aus, sich auf solche Teilmengen ΦN zu beschränken, die
ϕ enthalten und für die es ein N ⊆fin M gibt, so dass
ΦN
.
:= {ϕ} ∪ {¬(cn = cm ) | n, m ∈ N, m �= n}
Nach Voraussetzung hat ϕ ein unendliches Modell A. Wähle nun
in diesem |N| paarweise verschiedene Elemente bm für jedes
m ∈ N. Da |N| < ∞ ist dies möglich.
Sei AN nun definiert wie A, wobei zusätzlich die Konstante cm
durch das Element bm interpretiert wird. Offensichtlich ist AN
Modell von ΦN . Also ist jedes solche ΦN erfüllbar und mit der
Kompaktheit dann auch Φ. Sei nun B ein Modell von Φ. Beachte:
B muss alle cm , m ∈ M verschieden interpretieren. Also hat das
Universum mindestens die Kardinalität von M.
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