Fundamentale Sätze

Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
4.5 Prädikatenlogik ohne Gleichheit – Fundamentale Sätze
Fundamentale Sätze
versuche folgendes:
• gib eine Formelmenge Φ an, so dass Mod(Φ) = {R}
• gib eine unendliche, unerfüllbare Formelmenge Φ an, so dass
jede endliche Teilmenge davon erfüllbar ist
• formalisiere in FO: “es gibt genau 3 Elemente im Universum”
interessante Folgerungen aus Satz von Herbrand:
• abzählbare Modelle (Satz von Löwenheim-Skolem)
• Kompaktheit
• Unbeschränktheit von Modellen (aufsteigender Satz von
Löwenheim-Skolem)
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Abzählbarkeit
Def.: Eine Menge M ist höchstens abzählbar unendlich groß, wenn
es eine injektive Abbildung κ : M → N gibt.
intuitiv: höchstens die Kardinalität von N
Bsp.: was sind (über)abzählbare große Mengen?
• höchstens abzählbar groß sind: (jede Teilmenge von) N, Z,
Z × (N \ {0}), Q, Nk für jedes k ∈ N, N∗ , . . .
• überabzählbar große Mengen sind: (jede Obermenge von) R,
2N , . . .
Theorem 19
Die Menge aller Grundterme über einer Signatur mit höchstens
abzählbar unendlich vielen Funktionssymbolen ist höchstens
abzählbar unendlich groß.
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Satz von Löwenheim-Skolem
Theorem 20
Jeder erfüllbare FO-Formel hat ein höchstens abzählbar unendlich
großes Modell.
Beweis: Sei ϕ erfüllbar. Nach Thm. 16 gibt es erfüllbares ψ in
Skolem-NF. Sei A Modell davon. Nach dem Beweis von Thm. 18
ist AL({ψ}) erfüllbar mit aussagenlogischem Modell IA . Nach dem
anderen Teil dieses Beweises hat ψ dann auch ein Herbrand-Modell
HIA . Nach Thm. 16 gilt auch HIA |= ϕ. Nach obigem Theorem
ist HIA höchstens abzählbar unendlich groß.
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Kompaktheit der Prädikatenlogik
Theorem 21
Menge Φ von FO-Formeln ist erfüllbar gdw. jede endliche
Teilmenge von Φ erfüllbar ist.
Beweis: “⇒” Trivial. “⇐” O.B.d.A. sei Φ unerfüllbare Menge
von FO∀ -Sätzen. Nach Thm. 18 ist AL(Φ) unerfüllbar. Nach
Kompaktheit der Aussagenlogik gibt es unerfüllbares Γ ⊆fin AL(Φ).
Betrachte
Ψ := {∀x̄ ψ ∈ Φ | es gibt Grundterme t̄ mit ψ[t̄/x̄] ∈ Γ}
Offensichtlich ist Ψ ⊆fin Φ. Sei
Γ� := {ϕ[t̄ � /x̄] | es gibt ϕ[t̄/x̄] ∈ Γ, t̄ � beliebig }
Da Γ� ⊇ Γ, ist Γ� auch unerfüllbar. Nach Thm. 18 ist Ψ
unerfüllbar.
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Aufsteigender Satz von Löwenheim-Skolem
Theorem 22
Sei ϕ FO-Satz, A = (A, τ ) |= ϕ und B so, dass es surjektives
ι : B → A gibt. Dann gibt es B = (B, τ ), so dass B |= ϕ.
Beweisidee: Sei ι−1 : A → B, so dass ι(ι−1 (a)) = a für alle
a ∈ A. Konstruiere B durch
(b1 , . . . , bn ) ∈ R B
gdw.
(ι(b1 ), . . . , ι(bn )) ∈ R A
f B (b1 , . . . , bn ) = ι−1 (f A (ι(b1 ), . . . , ι(bn )))
Per Induktion über ψ zeigt man, dass für alle ψ und alle ϑ gilt:
B, ϑ |= ψ gdw. A, ι ◦ ϑ |= ψ. Daraus folgt die Behauptung.
�
Daraus folgt z.B., dass Gleichheit nicht definierbar ist.
Beachte: Thm. 22 gilt nicht in dieser Form für FO mit Gleichheit
(s. nächstes Kapitel)
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