Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Dr. Mathias Kegelmann
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2003
2. Juni 2003
Einführung in die Logik für Informatiker
Lösungshinweise zum achten Übungsblatt
Hausübungen
(H 24) Kompaktheitssatz
Zu zeigen ist: wenn T A gilt, so gibt es eine endliche Teilmenge T0 ⊆ T mit der Eigenschaft
T0 A.
Gilt T A, so ist T ∪ {¬A} unerfüllbar. Dann ist laut Kompaktheitssatz bereits eine endliche
Teilmenge E von T ∪ {¬A} unerfüllbar. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit enthalte E den
Satz ¬A. Sei T0 = E ∩ T . Dann gilt T0 ∪ {¬A} = E und daher ist T0 ∪ {¬A} unerfüllbar. Daraus
folgt T0 A.
(H 25) Nicht-Existenz einer endlichen Axiomatisierung von TFA
Wir axiomatisieren die Klasse TFA der torsionsfreien abelschen Gruppen. Zu den Axiomen für
abelsche Gruppen nehmen wir die abzählbare Menge von Formeln
∀x. x 6= 0 → x + x 6= 0
∀x. x 6= 0 → x + x + x 6= 0
∀x. x 6= 0 → x + x + x + x 6= 0
..
.
hinzu. Abkürzend für |x + ·{z
· · + x} schreiben wir wieder nx. Zunächst beweisen wir, daß ein Satz,
n mal
welcher in allen torsionsfreien Gruppen gilt, auch in einer nicht torsoinsfreien Gruppe gilt. Ist
A ein solcher Satz und sei T unsere Axiomatisierung der TFA-Gruppen, so gilt T A, und
deshalb aufgrund des Kompaktheitssatzes1 auch T0 A für eine endliche Menge T0 ⊆ T . Nun
kann T T0 nur endlich viele Sätze der Form ∀x. x 6= 0 → nx 6= 0 enthalten. Ist p eine Primzahl,
die größer ist als alle n ∈ N derart, daß der Satz ∀x. x 6= 0 → nx 6= 0 in T0 vorkommt, so ist die
zyklische GruppeZ(p) ein Modell für T0 , da alle Elemente von Z(p) außer der 0 Ordnung p haben
(da die Ordnung jedes Gruppenelements ein Teier von p sein muß und p prim ist). Aufgrund
T0 A gilt auch Z(p) A, aber Z(p) ist nicht torsionsfrei. Wir folgern, daß TFA nicht endlich
axiomatisierbar ist, denn gäbe es eine solche Axiomatisierung A1 , . . . , An , so wäre bereits der Satz
A ≡ A1 ∧ · · · ∧ An eine Axiomatisierung. Insbesondere würde A in allen TFA-Gruppen gelten,
aber dann gilt A – wie wir gesehen haben – auch in einer nicht-torsionsfreien Gruppe.
F (H 26)
1
in der Form von (H 24)
(a) Die Gruppe Q/Z ist eine Torsionsgruppe. Ein beliebiges Element a = pq + Z hat Ordnung
q, falls wir annehmen, daß der Bruch pq vollständig gekürzt ist. Jedes Element von Q/Z hat
also endliche Ordnung. Es gibt jedoch keine obere Schranke für die Ordnungen der Elemente
von Q/Z.
(b) Sei T die Menge der in Q/Z gültigen Sätze. Wiederum erweitern wir die Signatur um eine
frische Konstante c und betrachten die Menge T 0 = T ∪ {c 6= 0, 2c 6= 0, . . . }. Jede endliche
Teilmenge T0 von T hat ein Modell, nämlich Q/Z, wobei wir c durch ein Element genügend
großer Ordnung interpretieren. Also hat T 0 ein Modell M (laut Kompaktheitssatz). Wie in
(P 23) (c) argumentieren wir, daß in M dieselben Sätze wie in Q/Z gelten.
Daraus folgt abermals, daß die Klasse der Torsionsgruppen nicht (mit den Mitteln der Prädikatenlogik) axiomatisierbar ist, denn eine Menge von Sätzen trifft auf Q/Z zu genau dann,
wenn sie auf M zutrifft. Strukturen wie Q/Z und M, in denen die gleichen Sätze gelten,
nennt man auch elementar äquivalent.