Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Dr. Mathias Kegelmann
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2003
23. Juni 2003
Einführung in die Logik für Informatiker
Achtes Übungsblatt
Präsenzübungen
(P 22) Axiomatisierbarkeit
Sei Σ eine Signatur und C eine Klasse von Σ-Modellen. Eine Axiomatisierung von C ist eine Menge
T geschlossener Formeln derart, dass für jedes Σ-Modell M gilt M ∈ C genau dann, wenn für alle
T ∈ T gilt M T . Sei Σ die leere Signatur. Demnach sind Σ-Modelle einfache Mengen.
(a) Gib eine Axiomatisierung der Klasse der dreielementigen Mengen an.
(b) Gibt es eine Axiomatisierung der Klasse der endlichen Mengen?
(P 23) Nicht-Axiomatisierbarkeit termerzeugter Modelle
Ein termerzeugtes Modell einer Signatur ist ein Modell, das von der leeren Menge erzeugt wird.
Der Begriff termerzeugt“ rührt daher, dass ein Modell von der leeren Menge erzeugt wird genau
”
dann, wenn jedes seiner Elemente die Interpretation eines geschlossenen Terms ist (dies folgt aus
Aufgabe (P 47) aus der Allgemeinen Algebra indem man für A die Algebra TΣ (∅) einsetzt).
Zeige, dass zu jedem unendlichen, termerzeugten Σ-Modell M eine nicht termerzeugte Struktur existiert, in der exakt die gleichen geschlossenen Formeln der Prädikatenlogik gelten. Gehe
folgendermaßen vor:
Sei T die Menge der geschlossenen Formeln, die in M gelten. Erweitere die Signatur Σ = (Ω, R, α)
um eine Konstante c 6∈ Ω. Sei T 0 = T ∪ {c 6= t | t ∈ TΣ (∅)}.
a) Zeige, daß T 0 ein Modell M0 hat, indem Du zeigst, daß jede endliche Teilmenge von T 0 ein
Modell hat.
b) Zeige, daß M0 (aufgefasst als Σ-Modell) nicht termerzeugt ist.
c) Zeige, daß in M dieselben geschlossenen Formeln (bzgl. Σ) gelten wie in M0 .
(P 24) Abelsche Gruppen
Axiomatisiere die abelschen Gruppen (mit endlich vielen Axiomen).
Wir wollen in den restlichen Aufgaben dieser Übung mithilfe des Kompaktheitssatzes Aussagen über die Axiomatisierbarkeit bestimmter Klassen abelscher Gruppen treffen. Wir benötigen
zunächst einige einfache Begriffe.
Definition. Sei (A, +, −, 0) eine abelsche Gruppe.
• Die Ordnung eines Elementes a ∈ A ist definiert als die kleinste Zahl n ∈ N+ so daß
a
· · + a} = 0 .
| + ·{z
n mal
Existiert keine solche Zahl, so sagt man, das Element a hat unendliche Ordnung. Alternativ
kann man die Ordnung eines Gruppenelements definieren als die Mächtigkeit der von ihm
erzeugten Untergruppe. Daraus folgt insbesondere, daß die Ordnung eines Elements einer
endlichen Gruppe die Mächtigkeit der Gruppe teilt.
Ist n ∈ N und a ∈ A, so schreiben wir auch na anstelle von a
· · + a}.
| + ·{z
n mal
• Die Gruppe A heißt Torsionsgruppe wenn jedes Element von endlicher Ordnung ist.
• Die Gruppe A heißt torsionsfrei wenn jedes Element außer 0 von unendlicher Ordnung ist.
Die Klassen der abelschen Torsionsgruppen und torsionsfreien abelschen Gruppen bezeichnet man
mit TA und TFA, respektive.
(P 25) Nicht-Axiomatisierbarkeit von TA
Zeige, daß die Klasse der abelschen Torsionsgruppen nicht axiomatisierbar ist. Betrachte zu diesem Zweck folgendes Argument:
Sei T eine Menge geschlossener Formeln, die in allen abelschen Torsionsgruppen gelten. Wir
erweitern die Signatur der Gruppentheorie um eine neue Konstante c. Sei T 0 = T ∪ {c 6= 0, 2c 6=
0, 3c 6= 0, . . . }.
a) Zeige, daß T 0 ein Modell M hat, indem Du zeigst, daß jede endliche Teilmenge von T 0 ein
Modell hat.
b) Zeige, daß M nicht in TA ist.
c) Folgere, daß TA nicht axiomatisierbar ist.
Hausübungen
Abgabe in den Übungen am 30. Juni 2003
(H 24) Kompaktheitssatz
Beweise folgendes Korollar des Kompaktheitssatzes: Sei T eine Menge geschlossener Formeln und
sei A eine geschlossene Formel. Wenn T A gilt, so gibt es eine endliche Teilmenge T0 ⊆ T mit
der Eigenschaft T0 A.
Hinweis: Wende den Kompaktheitssatz auf die Menge T ∪ {¬A} an.
(H 25) Nicht-Existenz einer endlichen Axiomatisierung von TFA
Axiomatisiere die Klasse TFA der torsionsfreien abelschen Gruppen.
Mithilfe von (H 24) werden wir nun zeigen, daß zu jedem Satz A, der in allen Gruppen aus
TFA gilt, auch eine nicht torsionsfreie abelsche Gruppe existiert, in der A gilt. Wähle zu diesem
Zweck als Menge T Deine Axiomatisierung von TFA und konstruiere zu jeder beliebigen endlichen
Teilmenge T0 von T eine abelsche Gruppe, in der T0 gilt und die nicht torsionsfrei ist.
Folgere, dass die Klasse TFA nicht endlich axiomatisierbar ist.
(Hinweis: Eine Klasse von Strukturen, die endlich axiomatisierbar ist, ist sogar durch einen einzigen Satz axiomatisierbar.)
F (H 26)
a) Zeige, daß die Gruppe (Q/Z, +, −, 0) eine Torsionsgruppe ist (dabei ist Q/Z = Q/∼ , wobei
p ∼ q ⇔ |p − q| ∈ Z).
b) Zeige mit einer an die Lösung von (P 23) angelehnten Methode, daß eine NichtTorsionsgruppe existiert, in der die gleichen geschlossenen Formeln der Prädikatenlogik gelten
wie in Q/Z.
Dies ist eine Verschärfung der in (P 25) bewiesenen Aussage.