Institut für Informatik der Universität München Prof. M. Hofmann Dipl.-Inf. Hermann Gruber SS 2008 25.06.2008 Übungen zur Vorlesung Logik für Informatiker Blatt 10 Aufgabe H-32: Im folgenden wollen wir Paare von Termen, die gemeinsame freie Variablen enthalten, mit geeigneten Termen instantiieren, so dass der linke und der rechte Term gleich werden, z.B. für die Terme f (h(x)) und f (y) leistet die Substitution [c/x][h(c)/y] das gewünschte.1 Manchmal ist eine Lösung nicht ganz so leicht zu finden, es kann auch sein, dass gar keine geeignete Instantiierung existiert. Probieren Sie Ihr Glück für die folgenden Paare: a) f (x, y) und f (h(y), c) b) f (x, y) und g(y, x) c) f (f (h(c), y), y) und f (z, x) d) h(h(x)) und h(x) Aufgabe H-33: Erinnern Sie sich an die folgenden altbekannten Weisheiten: • Jeder Drache ist glücklich, wenn alle seine Kinder fliegen können. • Grüne Drachen können fliegen • Ein Drache ist grün, wenn er Kind mindestens eines grünen Drachens ist. a) Formalisieren Sie die obigen Aussagen in der Prädikatenlogik. b) Beweisen Sie mittels Resolution, dass aus den drei obigen Aussagen folgt, dass alle grünen Drachen glücklich sind. Hinweis: Um eine Implikation A ⇒ B als allgemeingültig zu beweisen, genügt es natürlich, zu zeigen dass A ∧ ¬B unerfüllbar ist. –bitte wenden– 1 hier und im Folgenden ist c ein Konstantensymbol. Aufgabe H-34: Sei L eine prädikatenlogische Sprache mit einem einstelligen Prädikatsymbol P , einem einstelligen Funktionssymbol f . Sei ψ die Aussage “Für alle x gibt es ein n ∈ N, so dass das Ergebnis der n-fachen Ausführung der Funktion f auf x die Eigenschaft P hat.” Wir wollen wissen, ob sich diese Aussage äquivalent als prädikatenlogische Formel, oder zumindest Formelmenge, beschreiben lässt. Etwas formaler beschreiben wir ψ durch ihre Modelle: A |= ψ gdw. für alle a ∈ |A| existiert n ∈ N mit fA (· · · fA (a) · · · ) ∈ PA . | {z } n-fach geschachtelt Die Frage lautet: Gibt es eine prädikatenlogische Formelmenge Γ, so dass für jede Struktur A gilt A |= Γ gdw. A |= ψ? a) Wäre ψ unerfüllbar, so fiele die Angabe der Formelmenge Γ sehr leicht (warum?). Nun, sei B die Struktur mit PB = {x | x = 0}, und fB (x) = x − 1 für x ≥ 1 und fB (0) = 0. Begründen Sie kurz, dass B |= ψ gilt. b) Wir führen nun eine frische Konstante c ein und definieren die unendliche Menge prädikatenlogischer Formeln Ξ = {¬P (c), ¬P (f (c)), ¬P (f (f (c))), ¬P (f (f (f (c))), . . .}. Finden Sie für jede endliche Teilmenge E von Ξ jeweils eine Struktur, die Modell für ψ und gleichzeitig Modell für alle Formeln in E ist. Hinweis: Für eine endliche Teilmenge E von Ξ definieren wir t(E) als die maximale Schachtelungstiefe von f -Funktionssymbolen in Formeln aus E. c) Nehmen wir nun an, es gibt eine prädikatenlogische Formelmenge Γ, die zu ψ äquivalent ist. Benutzen Sie den Kompaktheitssatz, um zu zeigen, dass daraus folgt, dass Γ ∪ Ξ ein Modell besitzt. d) Sei A eine Struktur für L ∪ {c}. Zeigen Sie, dass A |= ψ impliziert, dass A |= Ξ nicht gilt. Was schliessen Sie daraus für unsere ursprüngliche Frage? Hinweis: Die Teilaufgaben sind im Prinzip unabhängig voneinander lösbar; die Angabe einer früheren Teilaufgabe darf jederzeit zur Lösung von späteren Teilaufgaben verwendet werden.