Einführung in die Logik

Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Prof. Dr. J. Adámek · Dipl.-Math. Dipl.-Inf. H. Urbat
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt 10
Übungsaufgabe 1
Das berühmte Barbier-Paradoxon von Bertrand Russell ist die folgende Aussage:
In Sevilla lebt ein männlicher Barbier, der genau die männlichen Einwohner von Sevilla
rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
Formulieren Sie diese Aussage als prädikatenlogische Formel, und argumentieren Sie, warum sie
inkonsistent ist.
Hausaufgabe 1 [12 PUNKTE]
Sei Σ die Signatur mit dem Prädikatensymbol P (zweistellig), den Funktionssymbolen f (einstellig) und g (zweistellig) und dem Konstantensymbol c. Welche der folgenden Zeichenketten
sind korrekt gebildete Formeln über Σ, wobei x, y, z Variablen sind? Identifizieren Sie jeweils
den Fehler bei den unzulässigen Formeln, und geben Sie bei den zulässigen Formeln die freien
und gebundenen Variablen an.
(a) [2 PUNKTE]
∀x : ∃x : (x = z ∧ (P (f (c), g(c, x)) ∨ f (x) = x) ⇒ z)
(b) [2 PUNKTE]
x = c ∨ ∀x : (P (x) ∧ f (g(y, z)) = c)
(c) [2 PUNKTE]
∃y : ∀x : (g(x, y) = c ∧ ¬(c = x))
(d) [2 PUNKTE]
f (x) = c ∧ ∃c : c = x
(e) [2 PUNKTE]
P (x, x) ⇒ ∃x : y = f (g(x, y))
(f) [2 PUNKTE] ∀x : (P (f (g(f (f (f (x))))), f (g(x, x)))
Hausaufgabe 2 [5 PUNKTE]
”Die Klausur besteht jeder, der intelligent und fleißig ist, oder der einen intelligenten Sitznachbarn hat.” Führen Sie eine geeignete Signatur ein und formulieren Sie die Aussage als
prädikatenlogische Formel.
Hausaufgabe 3 [10 PUNKTE]
Sei Σ die Signatur mit einem Prädikatensymbol E (zweistellig). Σ-Strukturen entsprechen also
gerichteten Graphen G = (V, E), und viele Aussagen über Graphen lassen sich als prädikatenlogische Formeln über Σ ausdrücken.
Beispiel. Der Aussage “Jeder Knoten von G hat einen Vorgänger oder einen Nachfolger” entspricht die Formel ∀x : ∃y : (E(x, y) ∨ E(y, x)).
Formulieren Sie die folgenden Aussagen als prädikatenlogische Formeln über Σ:
(a) [3 PUNKTE]
G ist einfach.
(b) [3 PUNKTE]
G hat eine Senke.
(c) [4 PUNKTE]
G hat einen Kreis der Länge 3.
Erläuterungen:
• Ein gerichteter Graph heißt einfach, wenn er keine Kanten der Form (x, x) hat.
• Eine Senke ist ein Knoten ohne ausgehende Kanten.
• Ein Kreis ist eine Folge von paarweise verschiedenen Knoten x1 , . . . , xn (n ≥ 3) mit
(xi , xi+1 ) ∈ E für i = 1, . . . , n − 1 und (xn , x1 ) ∈ E. Die Zahl n ist die Länge des Kreises.
Hausaufgabe 4 [15 PUNKTE]
Sei Σ die Signatur mit Konstantensymbolen 0 und 1, Funktionssymbolen + und · (zweistellig)
und einem Prädikatensymbol < (zweistellig). Viele Aussagen über natürliche Zahlen (also die
Σ-Struktur mit Trägermenge N = {0, 1, 2, 3, . . .} und der üblichen Interpretation von 0, 1, +, ·
und <) lassen sich als prädikatenlogische Formeln über Σ ausdrücken.
Beispiel. Der Aussage “x ist eine gerade Zahl” entspricht die Formel ∃y : y + y = x mit einer
freien Variablen x.
Formulieren Sie die folgenden Aussagen als prädikatenlogische Formeln über Σ:
(a) [3 PUNKTE]
x ist ein Teiler von y.
(b) [4 PUNKTE]
x ist eine Primzahl.
(c) [4 PUNKTE]
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
(d) [4 PUNKTE] Jede gerade Zahl ≥ 4 lässt sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen.
Abgabe bis Freitag, 3.7., 14:00 Uhr, in den Briefkästen vor Raum IZ 343