¨Ubungen zur Vorlesung Logik für Informatiker WS 2015/16

Übungen zur Vorlesung Logik für Informatiker
Gabriele Kern-Isberner
Martin Schuster Nils Vortmeier
WS 2015/16
Übungsblatt 11
18.1.2016
Abgabe bis zum 25.1.2016 um 10:10 Uhr
• (vor der Vorlesung) im HG II, HS 3, oder
• in den Briefkästen mit den Nummern 26-31 im Durchgangsflur,
der die 1. Etage der OH 12 mit dem Erdgeschoss der OH 14
verbindet.
Es gelten die Bedingungen von Blatt 1 und 2.
Quizfragen:
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Und warum?
keine Punkte
1. Die Anwendung eines prädikatenlogischen Resolutionsschrittes auf eine Klausel mit k Literalen
und eine Klausel mit ℓ Literalen ergibt immer eine Resolvente mit k + ℓ − 2 Literalen.
2. Wie für aussagenlogische Formeln, gibt es auch für jede prädikatenlogische Formel nur endlich
viele unterschiedliche Modelle.
3. Jede prädikatenlogische Formel mit einem endlichen Modell hat auch ein unendliches Modell.
Übungsblatt 11
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Aufgabe 11.1 [Quizfragen]
3 Punkte
Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und geben Sie jeweils eine
stichhaltige Begründung in ca. ein bis zwei Sätzen.
a) Die kürzeste äquivalente Formel in KNF zu einer aussagenlogischen Formel ϕ1 ist eindeutig
bestimmt.
Hinweis: Es gilt also: Sind ψ und ψ ′ kürzeste zu ϕ1 äquivalente Formeln in KNF, so gilt
ψ = ψ′ .
b) Für alle Paare ϕ2 , ψ2 von modallogischen Formeln und die unten stehende Kripkestruktur K
gilt K, s2 |= 222ϕ2 genau dann, wenn K, s2 |= 222ψ2 .
s1
K : A, B
s2
s3
A
s4
B
c) Die prädikatenlogische Formel ϕ3 = ∀x(x + 1 > x) ist allgemeingültig.
Hinweis: Zur besseren Lesbarkeit wurden die einstellige Funktion +1 und die zweistellige
Relation > in Infix-Schreibweise notiert. Die Schreibweise in der üblichen Notation ist
∀x >(+1(x), x).
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Aufgabe 11.2 [Softwaretests]
7 Punkte
Wir erinnern uns an unseren Ausflug zum Thema Model Checking von Blatt 6. Wieder möchten
wir die Korrektheit von Programmen testen, diesmal mit Hilfe von Prädikatenlogik.
Die Programmlogik wird wie folgt durch Strukturen A über der Signatur {K, F, I, E} modelliert:
• Die Grundmenge A von A enthält alle Programmzustände.
• K A , F A und I A sind unäre Relationen, wobei
– K A alle Programmzustände enthält, in denen auf einen kritischen Speicherbereich zugegriffen wird,
– F A alle Programmzustände enthält, in denen ein kritischer Fehler aufgetreten ist,
– I A alle Programmzustände enthält, in denen eine Nutzereingabe abgefragt wird,
• Die binäre Relation E A enthält alle Paare (a1 , a2 ) von Programmzuständen, so dass bei der
Ausführung des Programms Zustand a2 auf Zustand a1 folgen kann.
a) Modellieren Sie die folgenden Aussagen durch prädikatenlogische Formeln. Geben Sie dazu
jeweils zunächst eine äquivalente formelähnliche Aussage an.
(i) In keinem Zustand, in dem ein kritischer Fehler aufgetreten ist, wird auf einen kritischen
Speicherbereich zugegriffen.
(ii) Auf Programmzustände, in denen ein kritischer Fehler aufgetreten ist, können nur Zustände folgen, in denen ebenfalls ein kritischer Fehler aufgetreten ist.
(2 Punkte)
b) Drücken Sie die folgende Formel wie in der Vorlesung zunächst als formelähnliche Aussage aus. Vereinfachen Sie die Aussage dann zu einer leicht verständlichen (aber der Formel
entsprechenden) Aussage.
(iii) ∀x(I(x) → ∃y(E(x, y) ∧ K(y)))
(0,5 Punkte)
c) Bringen Sie jede der Formeln aus den Aufgabenteilen a) und b) in Pränexnormalform (sofern
nötig).
(0,5 Punkte)
d) Zeigen Sie durch prädikatenlogische Resolution: Aus den Aussagen (i)-(iii) folgt, dass in allen Programmzuständen, in denen eine Nutzereingabe abgefragt wird, kein kritischer Fehler
aufgetreten ist.
(4 Punkte)
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Zusatzaufgabe [Von der Modal- zur Prädikatenlogik]
Betrachten Sie die folgende Kripkestruktur K:
2 Punkte
Übungsblatt 11
K:
2
A, B
4
A
3
B
1
a) Geben Sie eine Struktur mit Grundmenge {1, 2, 3, 4} über einer geeigneten Signatur an, die
K modelliert
b) Gegeben ist die modallogische Formel
ϕ = 3(A ∨ 2¬((2B ∨ B) → A)).
Bestimmen Sie eine prädikatenlogische Formel ψ(x) über der Signatur aus Aufgabenteil (a)
mit einer freien Variablen x, so dass ψ auf passenden Interpretationen ϕ „simuliert“, d.h. für
eine Interpretation I = (K, β), in der K eine Kripkestruktur beschreibt und β(x) = s für eine
Welt s von K ist, soll gelten:
JψKI = 1 genau dann wenn K, s |= ϕ.