Aufgabenblatt 11

Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Prof. Dr. J. Adámek · Dipl.-Math. Dipl.-Inf. H. Urbat
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt 11
Übungsaufgabe 1
Sei Σ eine Signatur mit einem einstelligen Prädikatensymbol P (sowie beliebigen Konstantenund Funktionssymbolen), und sei t ein Σ-Term, in dem die Variable x nicht vorkommt. Beweisen
Sie, dass die folgende Formel allgemeingültig ist:
ϕ := P (t) ⇔ ∀x : (x = t ⇒ P (x))
Argumentieren Sie detailliert, unter Verwendung der formalen Semantik der Prädikatenlogik.
Hausaufgabe 1 [8 PUNKTE]
Gegeben sei die Signatur Σ mit einem Konstantensymbol c, Funktionssymbolen f und g (zweistellig) und einem Prädikatensymbol P (zweistellig), sowie die Formel
ϕ := ∀a : ∀b : ∃x : (P (a, c) ⇒ f (g(a, x), b) = c)
(a) [5 PUNKTE] Betrachte die Σ-Struktur A mit Trägermenge R, cA = 0, f A (x, y) = x − y,
g A (x, y) = x·y und P A (x, y) ⇔ x 6= y. Was besagt ϕ konkret in dieser Struktur? Begründen
Sie kurz, warum ϕ dort wahr ist.
(b) [3 PUNKTE]
Finden Sie eine Σ-Struktur mit Trägermenge R, in der ϕ falsch ist.
Hausaufgabe 2 [10 PUNKTE]
Sei Σ die Signatur mit einem zweistelligen Prädikatensymbol <, und sei N die Σ-Struktur mit
Trägermenge N, in der < die übliche Bedeutung hat. Für welche Belegungen α : {x, y} → N ist
α
b(ϕi ) = 1?
(a) [3 PUNKTE]
ϕ0 := x = x ∨ ∀x : x < x
(b) [3 PUNKTE]
ϕ1 := x = y ∧ ∀x : x < x
(c) [4 PUNKTE]
ϕ2 := x = y ∧ ∀x : ∃y : x < y
Argumentieren Sie detailliert, unter Verwendung der formalen Semantik der Prädikatenlogik.
Hausaufgabe 3 [10 PUNKTE]
Sei Σ die Signatur mit einem einstelligen Funktionssymbol f . Finden Sie eine prädikatenlogische
Formel ϕ, die in keiner endlichen Σ-Struktur, aber mindestens einer unendlichen Σ-Struktur
wahr ist.
Hinweis. Eine Menge M ist genau dann endlich, wenn jede injektive Funktion f : M → M auch
surjektiv ist.
Hausaufgabe 4 [10 PUNKTE]
Beweisen Sie die Umkehrung der Aussage in der Übungsaufgabe: Für jeden Σ-Term t, in dem
die Variable x vorkommt, ist ϕ nicht allgemeingültig. Argumentieren Sie detailliert, unter Verwendung der formalen Semantik der Prädikatenlogik.
Abgabe bis Freitag, 10.7., 14:00 Uhr, in den Briefkästen vor Raum IZ 343