Humboldt-Universität zu Berlin Bereich Stochastik und Finanzmathematik Blatt 10 Wintersemester 2014/2015 Version vom 22. Januar 2015 Prof. Dr. Dirk Becherer Peter Frentrup Übungen zur Analysis III Aufgabe 1 (4 Punkte) Wenn möglich, bearbeiten Sie diese Aufgabe bitte auf englisch, um die Korrektur zu erleichtern. Ein (beschränkter und messbarer) Körper A ⊂ R3 bestehe aus einem homogenen Material. Damit ergibt sich sein Masseschwerpunkt als Z Z Z 1 z dλ3 . y dλ3 , (Sx , Sy , Sz ) = x dλ3 , λ3 (A) A A A Berechnen Sie den Schwerpunkt des Körpers, der durch die Flächen { 19 (x2 + y 2 ) = 5 − z} und {z = 1} eingeschlossen wird. Aufgabe 2 (4 Punkte) Betrachten Sie die Euler’schen Beta- und Gamma-Funktionen Z 1 Z ∞ x−1 y−1 B(x, y) = t (1 − t) dt und Γ(x) = tx−1 e−t dt, 0 0 für positive reelle Zahlen x, y > 0. Beweisen Sie die Identität B(x, y) = Γ(x)Γ(y) . Γ(x + y) Hinweis: Substituieren Sie t = sin2 α in B(x, y) und t = r2 in Γ(x+y) und wenden Sie auf das Produkt B(x, y)Γ(x + y) den Satz von Fubini sowie die Transformation von Polar- zu kartesischen Koordinaten an. Aufgabe 3 (4 Punkte + 4 Zusatzpunkte) Sei (X, A, µ) ein Maßraum und f : X → R eine messbare numerische Funktion. Wir definieren das wesentliche (essentielle) Supremum von f als ess sup f := inf sup f (x). A∈A x∈X\A µ(A)=0 Beweisen Sie: a) Falls a < ess sup f ≤ ∞, so gilt µ({x ∈ X | f (x) > a}) > 0. b) Es existiert eine Nullmenge A ∈ A, µ(A) = 0, mit ess sup f = sup f (x). x∈X\A c) Zusatz: Für kf k∞ := ess sup|f | gilt kf k∞ = 0 genau dann, wenn f = 0 µ-fast überall. Damit definieren wir die Menge der wesentlich beschränkten Funktionen L∞ (µ) := f : X → R kf k∞ < ∞ . Wegen Eigenschaft c) ist k·k∞ keine Norm. Dazu müssen wir zu Äquivalenzklassen über gehen. Sei N := {f : X → R | f = 0 µ − fast überall}, so ist L∞ := L∞ /N ; analog zu Lp := Lp /N für p ∈ [1, ∞). d) Zusatz: Für eine Äquivalenzklasse [f ] ∈ L∞ sei k[f ]k∞ := kf k∞ . Beweisen Sie, dass (L∞ (µ), k·k∞ ) ein normierter Vektorraum ist. Aufgabe 4 (Präsenzaufgabe) a) Seien (X, A, µ) und (Y, B, ν) Maßräume und f : X × Y → R eine numerische R R Funktion. Entscheiden R R Sie jeweils, ob der Satz von R Fubini anwendbar ist. Berechnen Sie X Y f (x, ·) dν µ(dx) und Y X f (·, y) dµ ν(dy), sowie X×Y f dµ ⊗ ν, falls diese definiert sind. (i) X = Y = R mit Borel-σ-Algebra A = B = B(R), Lebesgue-Maß µ = ν = λ1 und 1, −1 ≤ x − y < 0, f (x, y) = −1, 0 ≤ x − y ≤ 1, 0, sonst. (ii) X = Y = [0, 1] mit A = L(X) und Lebesgue-Maß µ = λ1 , sowie B = 2Y , Zählmaß ν(B) = |B| := card(B) und der Funktion f (x, y) = x + y. (iii) X = Y = [0, 1] mit A = B = L(X) und Lebesgue-Maß µ = ν = λ1 , sowie der Funktion f (x, y) = − x x2 − y 2 d2 arctan = 2 . dx dy y (x + y 2 )2 b) Studenten, die noch wenige Punkte haben (vgl. Webseite), können diesen Aufgabenteil auch schriftlich abgeben, wenn möglich auf englisch (4 Zusatzpunkte). Seien p, q > 1 reelle Zahlen mit 1 p + 1 q = 1. (i) Beweisen Sie die Ungleichung a1/p ·b1/q ≤ ap + qb für alle positiven reellen Zahlen a, b ∈ (0, ∞) durch Analyse der Funktion ϕ(t) := p1 t + 1q − t1/p . (ii) Zeigen Sie, dass für f ∈ Lp und h ∈ Lq auch f · h ∈ L1 und es gilt: kf · hk1 ≤ kf kp · khkq . Abgabe: Dienstag, 13.1.2015 vor der Vorlesung Die Lösungen sind in Zweiergruppen abzugeben. Jede Aufgabe schreiben Sie bitte auf ein eigenes Blatt, mit Namen, Matrikelnummern und Übungsgruppe.