Blatt 5

Prof. Dr. Vadim Kostrykin
Amru Hussein
Übungsblatt 5 zur Vorlesung
Analysis 1
im Sommersemester 2010
Aufgabe 1)
R)
(Mengen in
(4 Punkte)
Skizzieren Sie die Mengen Mk , k = 1, 2, 3. Entscheiden Sie, welche der Mengen Mk ,
k = 1, 2, 3, 4, nach unten oder nach oben beschränkt sind. Bestimmen Sie dann gegebenenfalls
das Infimum und Supremum und entscheiden Sie, ob diese Werte in den Mengen enthalten
sind.
(a) M1 := {x ∈
(b) M2 := x ∈
n
(c) M3 := x ∈
(d) M4 :=
Aufgabe 2)
R | |x + 2| < |x − 5|}.
R | x2 + 2 ≤ 5.
√ o
R | 0 < x2 ≤ 3 .
−n
1+5
1
n
∪ 2 + n (−1)
|n∈
2
N
.
(Absolutbetrag) (4 Punkte)
Die Betragsfunktion ist definiert als:
|·| :
R → R,
R.
Im Folgenden seinen x, y ∈
(
x,
x ≥ 0,
x 7→ |x| =
−x, x < 0.
R mit ε > 0 gelte |x − y| < ε. Folgern Sie daraus, dass x = y gilt.
(b) Für welche Teilmengen X ⊂ R ist die auf X eingeschränkte Funktion |·|X
(a) Für alle ε ∈
(streng)
monoton wachsend und für welche (streng) monoton fallend.
(c) Zeigen Sie, dass die folgenden Formeln gelten:
1
(x + y + |x − y|) ,
2
1
inf {x, y} = min {x, y} = (x + y − |x − y|) .
2
sup {x, y} = max {x, y} =
Aufgabe 3)
(Körper) (4 Punkte)
(a) Beweisen Sie, dass
( pq )2 = 2.
√
2 ∈
/
Q. Zeigen Sie also, dass es keine Zahlen p, q ∈ N gibt mit
(b) Beweisen Sie: Es gibt keine reelle Zahl r ∈
R mit r2 = −1.
(c) Beweisen oder widerlegen Sie: Das Produkt zweier verschiedener irrationaler Zahlen ist
wieder irrational.
bitte wenden
Aufgabe 4)
(Supremum und Infimum) (4 Punkte)
R
eine nicht leere,
nach unten
beschränkte Menge mit inf M > 0. Zeigen
(a) Es sei M ⊂
1
′
Sie, dass die Menge M := x | x ∈ M nach oben beschränkt ist und dass gilt:
sup M ′ =
1
.
inf M
R
nicht leer. Zeigen Sie, dass aus inf M = sup M folgt, dass M aus nur
(b) Es sei M ⊂
einem Element besteht.
(c) Es seinen A ⊂
R und B ⊂ R nichtleere Mengen. Beweisen Sie:
• Es gilt sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B} und inf(A ∪ B) = min{inf A, inf B}.
• Für A ⊂ B ⊂
R gilt sup A ≤ sup B und inf B ≤ inf A.
• Für A∩B 6= ∅ gilt sup(A ∩ B) ≤ min{sup A, sup B}, inf(A ∩ B) ≥ max{inf A, inf B}.
Aufgabe 5) (4 Punkte)
Es seinen a1 , . . . , an ≥ 0 reelle Zahlen. Beweisen Sie die folgende Ungleichung:
√
n
a1 · . . . · an ≤
a1 + . . . + an
.
n
√
Bemerkung: Den Ausdruck n a1 · . . . · an nennt man das geometrische Mittel und den Ausn
druck a1 +...+a
das arithmetische Mittel der Zahlen a1 , . . . , an .
n
Hinweis: Blatt 4, Aufgabe 5.
Abgabe am Donnerstag, den 20.05.2010, um 15 Uhr