Def: 〈A,∩ ,∪〉 Verband Ein Teilverband ist eine Algebra 〈A1

Algebraische Strukturen und logische Kalküle
Fr 11.15 Uhr
II. Sitzung
Def:
⟨ A , ∩ , ∪⟩ Verband
Ein Teilverband ist eine Algebra ⟨ A1, ∩ , ∪⟩ falls A1⊆ A und A1 abgeschlossen bzgl. ∩ , ∪ ist.
D.h. a , b∈ A1 ⇒ a∩b & a∪b∈ A1
Halbordnungen
Def:
Eine algebraische Struktur ⟨ A , ≤⟩ heißt Halbordnung, falls für sie gilt:
i. Reflexivität:
a≤a
ii. Transitivität:
a≤b & b≤c ⇒ a≤c
iii.Antisymmetrie:
a≤b & b≤a ⇒ a=b
Bsp:
•
•
•
•
⟨ℕ , ≤⟩ , ⟨ℕ , ≥⟩ und ⟨ℕ , =⟩
⟨℘ A , ≤ ⟩
⟨ FOR /≡ , ⇔ ⟩ und ⟨ FOR /≡ , ⇒ ⟩
⟨{a , b , c}, {a , a ,b , b ,c , c ,a , c ,b , c}⟩
c
a≤c & b≤c
a
b
Satz:
Sei V ein Verband ⟨ M , ∩ , ∪⟩ .
Dann ist H V =⟨ M , ≤ ⟩ , wobei a≤b ⇔ a∪b=b bzw. a≤b ⇔ a∩b=a , eine
Halbordnung.
Bew:
i. Reflexivität
a∪a=a ⇒ a≤a
ii. Transitivität
a≤b , b≤c ⇒ a∪b=b & b∪c=c
⇒ a∪c=a∪b∪c
=a∪b∪c
=b∪c
=c
⇒ a≤c
iii.Antisymmetrie
a≤b , b≤a ⇒ a∪ b=b
=
b∪a=a
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Was beschreibt a∩b ?
a∩b beschreibt das Infimum von a und b bzgl. ≤
Def:
Gilt ∀ m∈M : s≤m , so heißt s untere Schranke von M. Die größte untere Schranke inf M 
heißt Infimum. Ist s untere Schranke von {a , b} , so ist s≤inf {a , b} .
Folg:
1) a∩b≤a
a∩b≤b
2) Ist s≤a und s≤b , so s≤a∩b
Bew:
1) a∩b∩a=b∩a∩a=b∩a∩a=b∩a=a∩b≤a
2) Es gelte s∩a=s und s∩b=s
Betrachte s∩a∩b= s∩a∩b=s∩b=s Folglich gilt s≤a∩b=inf a , b
Was beschreibt a∪b ?
a∪b beschreibt das Supremum sup{a , b} bzgl. ≤ und ist dual zu Infimum.
H V  ist eine Halbordung, in der a, b stets ein Infimum und ein Supremum haben.
Def:
Gilt ∀ m∈M : m≤s , so heißt s obere Schranke von M. Die kleinste obere Schranke sup  M 
heißt Supremum. Ist s obere Schranke von {a , b} , so ist sup{a , b}≤s .
Satz:
Sei H =⟨ M , ≤ ⟩ eine Halbordung, wo für beliebige a, b stets inf {a , b} und sup{a , b}
existieren.
Dann ist V  H =⟨ M , ∩ , ∪ ⟩ , mit a∩b=inf {a , b} und a∪b=sup{a , b} bzgl. ≤ , ein
Verband.
Bew:
✔
✔
✔
a∩b=b∩a
Kommutativität
inf {a , b}=inf {a , b}
a∩b∩c=a∩b∩c
Assoziativität
inf {a , inf {b , c}}=inf {a , b , c}=inf {inf {a , b} , c}
a∩b∪a=a
Adjektivität
Bem:
V H V =V und unter Umständen auch H V  H =H
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Bsp:
spezielle Verbände
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4
5
5
5
5
5
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