Mathematik für Naturwissenschaften I

Universität Bielefeld
C. Huck
Wintersemester 2015/16
Übungen zur Vorlesung
Mathematik für Naturwissenschaften I
Blatt 9 (Weihnachtsblatt)
Aufgabe 1
Sei M 6= ∅ eine nach unten bechränkte Teilmenge von . Nach Satz 30 existiert eine größte
untere Schranke inf M ∈
von M . Konstruieren Sie eine Folge (an )n∈N in M (d.h. an ∈ M
für alle n), die gegen inf M konvergiert. Ist inf M immer ein Element von M ?
R
R
Hinweis. inf M ist untere Schranke von M , aber für kein ε > 0 ist inf M +ε eine untere Schranke
von M . Betrachten Sie ε = 1/n.
(4 Punkte)
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass der Quotient fg zweier stetiger Funktionen f, g : D →
auf dem Definitionsbereich D0 = {x ∈ D | g(x) 6= 0} ist.
R eine stetige Funktion
(4 Punkte)
Aufgabe 3
Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend.
(b) Das Bild der Exponentialfunktion besteht aus sämtlichen positiven reellen Zahlen.
(c) Für |x| ≤ 3/2 gilt die Abschätzung
| exp(x) − (1 + x)| ≤ |x|2 .
Folgern Sie daraus, dass die Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0 gleich 1
ist.
Hinweis. Teil (a): Funktionalgleichung und exp(h) > 1 für h > 0. Teil (b): Zwischenwertsatz
zusammen mit exp(n) = en für n ∈ . Teil (c): Wie Aufgabe 5 auf Präsenzübungsblatt 9.
Z
(2+2+4 Punkte)
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Ableitung der Quadratwurzelfunktion durch Berechnung des Differentialquotienten.
Hinweis. Dritte binomische Formel und Stetigkeit der Quadratwurzelfunktion.
(4 Punkte)
Aufgabe 5
Beweisen Sie für n ∈
N die Identität
n (x + h)n − xn X n n−k k−1
=
x h .
h
k
k=1
und bestimmen Sie damit die Ableitung der Potenzfunktion x 7→ xn .
Hinweis. Binomischer Lehrsatz.
(4 Punkte)
Aufgabe 6
Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren, absolut konvergieren, divergieren oder
bestimmt divergieren gegen ±∞.
P∞ n6
(a)
n=0 3n .
P∞
n 1
(b)
n=0 (−1) 2n+5 .
P∞
1
(c)
n=0 − 4n+100 .
P∞
n
(d)
n=0 4n+100 .
P∞
n
(e)
n=0 4n3 +100 .
(2+2+2+2+2 Punkte)
Aufgabe 7
Berechnen Sie folgende Grenzwerte, sofern sie existieren.
P∞
n+1 1 n
(a)
( 10 ) .
n=0 (−1)
(b) limn→∞
n6 −3n+cos(n5 +4n−1)
.
36n7 +n+7
(c) limn→∞
n2015
n10 2n
(2+2+2 Punkte)
Ich wünsche Ihnen frohe Weihnachten
und einen guten Rutsch ins neue Jahr!!
Abgabe bis Donnerstag, 07.01.2016, 10.00 Uhr, in den Postfächern der Tutoren im
Kopierraum V3-128