Übungsblatt 2

Analysis 1: Alberto Cattaneo
HS 2008
Übungsblatt 2
Abgabetermin: Mittwoch, 8.Oktober bis 10 Uhr in die Ablagefächer über den Briefkästen in
Y27K. Der Herleitungsweg von Resultaten muss übersichtlich und vollständig sein. Die Antworten müssen begründet sein. Bitte die Lösungen leserlich schreiben!
Aufgabe 1. Zeigen Sie die folgenden Behauptungen:
(a) Für n ≥ 1 gibt es natürliche Zahlen xn und bn so dass,
√
√
(1 + 5)n = xn + yn 5.
(b) Für n ≥ 1,
2! · 4! · · · (2n)! ≥ ((n + 1)!)n .
(c) Für eine beliebige Primzahl p gilt: p teilt (np − n) mit n ≥ 1 beliebig.
Aufgabe 2. Für die folgenden Teilmengen von R ermittle man Supremum, Infimum und
gegebenenfalls Maximum bzw. Minimum:
(a)
h √ i
M1 = 1, 2 ∩ Q ;
(b)
M2 =
1
+ (−1)n : n ∈ N
n
;
(c)
M3 =
xy
: (x, y) ∈ R2 \{(0, 0)} mit x < y
2
x + y2
(d)
M4 =
√
3
n+1−
√
3
;
n : n∈N .
Aufgabe 3. (a) Gegeben ist ein Würfel der Kantenlänge 1. Aus diesem schneidet man
sukzessive Würfel der Kantenlänge q, q 2 , q 3 , . . . , q N heraus, wobei 0 < q ≤ 1/2 gilt.
Zeigen Sie induktiv, dass das Volumen, das nach N Schritten vom Würfel übrig
bleibt
Vq (N ) :=
1 − 2q 3 + (q 3 )(N +1)
1 − q3
beträgt.
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Analysis 1: Alberto Cattaneo
HS 2008
(b) Betrachten Sie die Menge Mq := {Vq (1), Vq (2), Vq (3), . . . }. Geben Sie mit Begründung das Infimum und das Supremum dieser Menge an. Besitzt M auch ein Minimum bzw. Maximum?
Aufgabe 4. Wir betrachten die Funktion f : R → R, f (x) = x2 und approximieren
sie auf dem Intervall [0, 1[ von unten und oben durch eine Familie stückweise konstanter
Funktionen An : [0, 1[→ R und Bn : [0, 1[→ R wie folgt: für gegebenes n ∈ N\{0}
unterteilen wir das Intervall [0, 1] in n gleiche Teile der Länge n1 und setzen für x ∈
[ nj , j+1
n [, j ∈ {0, 1 . . . , n − 1} :
j
An (x) := f
n
j+1
Bn (x) := f
n
Man mache eine Skizze. Es seinen nun an , bn ∈ R die Flächen unter dem Graphen der
Funktionen An und Bn respektive. Man zeige, dass die Familie der Intervalle [an , bn ], n ∈
N\{0} eine Intervallschachtelung bildet und finde die reelle Zahl welche in all diesen
Intervallen enthalten ist.
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