132 2005 LK Math Musterklausur 2

2004/05 , 13.2 , LK Mathematik
Bonn, den 25. Februar 2005
Musterklausur Nr. 2
1. Aufgabe
Gegeben sind die drei Funktionen f und g :
2ax
g(x) = 1 + x2
f(x) = a (x - x²)
(a) Man diskutiere g für a = 1, zeichne f für a = 1 in dasselbe Koordinatensystem
(b) Man bestimme a für beide Funktionen so, dass man sie als Dichtefunktion einer Wahr-scheinlichkeitsverteilung im Intervall [0 ; 1] interpretieren kann. Man berechne für die entstehenden Zufallsvariablen Erwartungswert und Median und vergleiche die Verteilungen.
(c) Man berechne das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation der Fläche unter dem
Graphen von f im Intervall [0 ; 1] um die x-Achse entsteht. Für welches a ist diese Fläche extremal
und welche Art ist das Extremum ?
2ax
(d) Man löse allgemein die Differentialgleichung y‘ = e(y/a) . Man zeige, dass die Funktion eine konkrete
Lösung dieser Differentialgleichung ist.
3. Aufgabe
Eine Firma stellt zwei Typen von Ikosaederwürfeln her : Typ A ist auf je 4 Seiten mit einer 1, einer 2,
einer 3, einer 4 oder einer 5 beschriftet, Typ B ist mit den Zahlen sechsmal mit 1, fünfmal mit 2, viermal mit 3, dreimal mit 4 und zweimal mit 5 beschriftet.
(a) Eine Urne enthalte einen Ikosaederwürfel vom Typ A und neun vom Typ B. Man zieht zufällig einen
Würfel aus der Urne und würfelt eine 1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man einen Würfel vom
Typ B verwendet ? Wie ist es, wenn man eine 5 gewürfelt hat ?
(b) Ein Ikosaederwürfel vom Typ A wird zehnmal geworfen. Wieviele verschiedene Wurffolgen sind
möglich ? Bei wievielen dieser Folgen treten alle möglichen Ergebnisse gleich häufig auf ?
(c) Man würfelt gleichzeitig mit je einem Würfel Typ A und einem Typ B. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man die Augensumme 4, mit welcher 10 ? Welche Augensumme hat die höchste Wahrscheinlichkeit ? Welchen Erwartungswert und welche Varianz hat die Augensumme ?
(d) Für die Würfel ergibt sich folgende Wurfbilanz bei 50 Würfen :
1
2
3
4
5
A
11
8
12
9
10
B
12
9
13
14
2
Man teste mit Hilfe von 3 verschiedenen Testgrößen (z.B. Anzahl der Fünfen, Durchschnittswert,
2 ), ob Würfel B „gut“ ist.
(e) Ein Würfel Typ A wird hundertmal geworfen. Dabei ergibt sich fünfundzwanzigmal eine Eins. Man
teste die Nullhypothese H0, dass der Würfel "gut" ist (Signifikanzniveau 95 %).
(f) Man ersetze A und B durch eine stetige Zufallsvariable über dem Intervall [0 ; 5] mit ganzrationalen
Dichtefunktionen fA bzw fB möglichst niedrigen Grades. Man berechne ferner Verteilungsfunktion
und Erwartungwert der zugehörigen Zufallsvariablen.
2004/2005 , 13.2 , LK Mathematik, Musterklausur Nr. 2 vom 25. Februar 2005, Seite 2
2. Aufgabe
Gegeben sind der Abgebildete Würfel mit
den Ecken A, B, C, D, E, F, G, H sowie
die Punkte Q auf der Kante BF, R auf der
Kante CG und P in der Deckebene
EFGH.
(a) Man berechne die Schnittfigur der
Ebene (P, Q, R) mit dem (massiv
gedachten) Würfel und begründe
geometrisch, daß es sich dabei um ein
Trapez handeln muß.
(b) Es seien S und T die Schnittpunkte
der Ebene (P, Q, R) mit den Kanten
EF bzw. HG. Dann schneiden sich
g (Q, R) und g (S, T) auf der Verlängerung der Kante FG. Man begründe
diese Behauptung geometrisch und
berechne den Schnittpunkt U dieser
Geraden.
Kontrollwert : U(3|6|3)
(c) Man berechne den Rauminhalt des vom Würfel abgeschnittenen Körpers QSFRTG.
(d) Welchen Abstand hat die Ebene (P, Q, R) vom Ursprung und welchen Winkel bildet sie mit der
xy-Ebene ?
(e) Es seien nun die Ecken der Pyramide P, Q, R, A so mit unbekannten Massen x, y, z, w belegt, daß
der Mittelpunkt des Würfels zugleich Schwerpunkt des Punktsystems P(x), Q(y), R(z), A(w) wird.
Wie muß man dann x, y, z, w wählen ? Bei richtiger Lösung ergeben sich vorzeichenverschiedene
Gewichte. Wie ist diese Tatsache zu deuten ?