Suprema und Infima reeller Teilmengen

Suprema und Infima reeller Teilmengen
Seminar Konstruktive Analysis bei Prof. Dr. Schwichtenberg
Quirin F. Schroll
5. Dezember 2016
Vortrag
Für die folgenden Argumente benötigen wir noch den Begriff der bewohnten Mengen. Eine
Menge 𝑀 heiße bewohnt (engl. inhabited), falls sie ein Element enthält, formal ∃𝑚 𝑚 ∈ 𝑀. Eine
bewohnte Menge 𝑀 ist offensichtlich nicht leer, d. h. ¬∀𝑚 𝑚 ∉ 𝑀, aber die Umkehrung ist nicht
allgemeingültig. Bewohnt zu sein ist eine stärkere Eigenschaft.
Satz, ℚ liegt dicht in ℝ:
Bemerkung:
Zu 𝑥 < 𝑧 gibt es 𝑏 ∈ ℚ mit 𝑥 < 𝑏 < 𝑧.
(Beweisskizze im Skript.)
Die konstruierte rationale Zahl 𝑏 hängt von der Darstellung von 𝑥 und 𝑧 ab.
Wir sollten uns an das Lemma von der (einfachen) Vergleichbarkeit reeller Zahlen mit Intervallen erinnern: ∀𝑥,𝑦,𝑧 (𝑥 < 𝑧 → 𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑧). Daneben gibt es noch die strikte Vergleichbarkeit:
∀𝑥,𝑦,𝑧 (𝑥 < 𝑧 → 𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑧)
Nachher wird lediglich der Spezialfall für rationale 𝑥 und 𝑧 verwendet. Im Beweis dazu zeigt
man ∀𝑎,𝑐 (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑎′ ,𝑐 ′ 𝑎 < 𝑎′ < 𝑐 ′ < 𝑐) und verwendet die Vergleichbarkeit auf 𝑎′ < 𝑐 ′ .
Damit folgt die starke Vergleichbarkeit mit reellen Intervallen. Weil ℚ dicht in ℝ liegt, findet
man 𝑎 und 𝑐 zu 𝑥 < 𝑧 mit 𝑥 < 𝑎 < 𝑐 < 𝑧 und wendet dann die beschriebene Konstruktion an.
Definition:
Wir nennen 𝑦 ∈ ℝ ein Supremum von 𝑆 ⊆ ℝ, falls
∀𝑥∈𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 und ∀𝑎<𝑦 ∃𝑥∈𝑆 𝑎 ≤ 𝑥.
Ist nur die erste Bedingung erfüllt, so heiße 𝑦 eine obere Schranke von 𝑆.
Lemma: Alle Suprema einer Menge 𝑆 ⊆ ℝ sind äquivalent. Das rechtfertigt, von dem Supremum von 𝑆 zu sprechen. Sofern es existiert, schreibe dafür sup 𝑆.
Beweis. Seien also 𝑦 und 𝑧 beide Suprema von 𝑆. Dann genügt es 𝑦 ≤ 𝑧 zu zeigen, und dafür
wiederum 𝑦 ≯ 𝑧. Also angenommen es gelte 𝑦 > 𝑧 und somit, weil ℚ dicht in ℝ liegt, gibt es
𝑎 ∈ ℚ mit 𝑧 < 𝑎 < 𝑦. Weil 𝑦 ein Supremum ist, gibt es ein 𝑥 ∈ 𝑆 mit 𝑎 ≤ 𝑥.
Weil 𝑧 eine obere Schranke von 𝑆 ist, müsste 𝑥 ≤ 𝑧 gelten, d. h. 𝑥 ≯ 𝑦, jedoch ist 𝑥 ≥ 𝑎 > 𝑧.
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Definition:
Eine bewohnte Menge 𝑆 ⊆ ℝ heiße nach oben lokalisiert, falls für alle 𝑎 < 𝑏 gilt
∃𝑥∈𝑆 𝑎 ≤ 𝑥 ∨ ∀𝑥∈𝑆 𝑥 ≤ 𝑏.
Prinzip von der kleinsten oberen Schranke: Für eine bewohnte, nach oben beschränkte
Menge ist es äquivalent ein Supremum zu haben und nach oben lokalisiert zu sein.
Beweis zu →. Seien 𝑦 = sup 𝑆 und 𝑎 < 𝑏. Die strikte Vergleichbarkeit liefert 𝑎 < 𝑦 oder 𝑦 < 𝑏.
𝑎 < 𝑦.
Weil 𝑦 das Supremum von 𝑆 ist, gilt 𝑎 ≤ 𝑥 für ein 𝑥 ∈ 𝑆.
𝑦 < 𝑏.
Weil 𝑦 eine obere Schranke von 𝑆 ist, gilt 𝑥 ≤ 𝑦 < 𝑏 für alle 𝑥 ∈ 𝑆.
Beweis zu ←. Sei 𝑦 eine obere Schranke. Setze Π𝑆 (𝑎, 𝑏) als das Prädikat
∃𝑥∈𝑆 𝑎 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥∈𝑆 𝑥 ≤ 𝑏,
also beide Bedingungen für die Lokalisiertheit. Die Voraussetzungen liefern 𝑎0 , 𝑏0 ∈ ℚ, sodass
Π𝑆 (𝑎0 , 𝑏0 ) erfüllt ist: Weil 𝑆 bewohnt ist, gibt es ein 𝑥 ∈ 𝑆 und dazu gibt es ein 𝑎0 ∈ ℚ, für
das 𝑎0 < 𝑥 gilt, nämlich 𝑎0 = 𝑐𝑀(1) − 1 mit ((𝑐𝑛 )𝑛 , 𝑀) = 𝑥. Nach Definition der reellen Zahlen
gilt 𝑎0 <1 𝑥 und wegen Abschwächung ∃𝑥∈𝑆 𝑎0 ≤ 𝑥. Analog ist 𝑦 <1 𝑏0 = 𝑑𝑁 (1) + 1, wobei
((𝑑𝑛 )𝑛 , 𝑁 ) = 𝑦. Weil 𝑦 eine obere Schranke von 𝑆 ist, gilt somit ∀𝑥∈𝑆 𝑥 ≤ 𝑏0 . Aus der Transitivität
folgt 𝑎0 < 𝑏0 . Sie sind Anfangswerte zweier Folgen (𝑎𝑛 )𝑛 und (𝑏𝑛 )𝑛 von rationalen Zahlen, die
1. 𝑎0 ≤ 𝑎1 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛 ≤ ⋯ ≤ 𝑏1 ≤ 𝑏0 ,
2. Π𝑆 (𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) und
𝑛
3. 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 ≤ ( 23 ) (𝑏0 − 𝑎0 )
für alle 𝑛 erfüllen. Dazu seien 𝑎0 , … , 𝑎𝑛 und 𝑏0 , … , 𝑏𝑛 bereits so konstruiert. Weil 𝑆 nach oben
lokalisiert ist, gilt für 𝑎 = 𝑎𝑛 + 13 (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 ) und 𝑏 = 𝑎𝑛 + 23 (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 ) = 𝑏𝑛 − 13 (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 )
∃𝑥∈𝑆 𝑎 ≤ 𝑥 ∨ ∀𝑥∈𝑆 𝑥 ≤ 𝑏.
Im ersten Fall setze 𝑎𝑛+1 = 𝑎 und 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 und im zweiten analog 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 und 𝑏𝑛+1 = 𝑏. Dann
gilt Π𝑆 (𝑎𝑛+1 , 𝑏𝑛+1 ) und auch die anderen beiden Bedingungen gelten auch für 𝑛 + 1.
Prinzip von der grössten unteren Schranke: Auf analoge Weise definiert man untere
Schranken, Infima sowie untere Lokalisiertheit und beweist die Eindeutigkeit zweiterer. Man
schreibt inf 𝑆, falls es existiert. Ebenfalls analog zum Prinzip von der kleinsten oberen Schranke
beweist man das Prinzip der größten unteren Schranke.
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