Aufgabenblatt 1: Analysis @5f9660e - Institut für Mathematik

Analysis
MA S430
Aufgabenblatt 1
Herbstsemester 2016
Aufgabenblatt 1
40 Punkte
Aufgabe 1 (Verständnis: Definition des Grenzwertes)
Sei (an )n∈N0 eine Folge in R. Wie in der Vorlesung gesehen (Definition 1.5, s.4), sagen wir
Die Folge (an )n∈N0 konvergiert gegen a ∈ R für n gegen unendlich genau dann wenn
für jedes ϵ > 0 eine Zahl nϵ existiert, sodass ∣an − a∣ < ϵ für alle n ⩾ nϵ gilt.
Wir schreiben dafür:
lim an = a
n→∞
Man kann diese Situation auf zwei Arten veranschaulichen.
• (an ) als Graph einer Funktion (vergleiche Skript s. 3)
• (an ) als Zahlen auf der Zahlengerade (vergleiche Skript s. 7)
Wählen Sie eine der zwei Darstellungen und beantworten sie damit die folgenden Fragen:
a) Was ist anschaulich die Bedeutung des Ausdruckes ∣an − a∣?
1
b) Was bedeutet somit die Bedingung ∣an − a∣ < ε?
1
c) Beschreiben Sie in Worten möglichst genau, welche eigenschaften nε hat.
4
Verwenden Sie dazu auch Skizzen und Beispiele.
6
Aufgabe 2 (Konvergente Folgen)
Geben Sie jeweils mindestens eine nichtkonstante Zahlenfolge an die gegen die gegebenen Grenzwerte konvergiert:
a) a ∶= 1.
1
b) b ∶= 3, so dass die Folgenglieder abwechslungsweise grösser und kleiner als 3 sind.
1
c) c ∶=
1
5
3
wobei cn ein Bruch zweier Polynome von Grad ≥ 2 sein soll.
d) d ∶= 0 wobei jedes Folgenglied halb so gross wie das letzte sein soll.
2
e) e ∶= 5 wobei jedes Folgenglied mindestens zehnmal näher an e sein soll als das letzte.
2
7
Aufgabe 3 (Beispiel: Berechnen des Grenzwertes)
Gegeben sind die (konvergenten) Folgen (fn )n∈N , (gn )n∈N und (hn )n∈N .
a) fn ∶=
n+1
2n+1
b) gn ∶=
15n2 −31
5n2 +1
c) hn ∶=
√
4n2 + 2n − 2n
Gehen Sie nach Beispiel 1.6, s.5 vor, das heisst
(i) Berechnen Sie die Werte einiger Folgenglieder,
(ii) Stellen Sie eine Vermutung für den Grenzwert auf,
(iii) Zeigen Sie nun, dass die Folgen (fn )n∈N , (gn )n∈N und (hn )n∈N konvergieren, indem Sie zeigen, dass die
Bedingungen der Definition der Konvergenz (vgl. oben) erfüllt sind.
6
Aufgabe 4 (Beispiel: Berechnen des Grenzwertes)
Gegeben sind die (konvergenten) Folgen (in )n∈N , (jn )n∈N und (kn )n∈N .
UZH Institut für Mathematik, Dr. C. Albertini
Abgabe 21. Oktober 2016, 8:00
Analysis
MA S430
a) in ∶=
Aufgabenblatt 1
Herbstsemester 2016
14n2 +3n+π
27n2 +1036
b) jn ∶=
√
c) kn ∶= 4n ⋅ ( 9n2 + 3 − 3n)
28n+17
32n2 −100
Die Sätze 1.8 und 1.9, s.8 geben uns eine einfachere Möglichkeit Grenzwerte von Folgen zu bestimmen, als die
Methode in Aufgabe 2. Die Idee ist, dass wir eine gegebene Folge als Summe, Produkt, Quotient, etc von anderen
konvergenten Folgen ansehen, deren Grenzwert wir einfach berechnen können.
(i) Formen Sie die gegebenen Folgen um, so dass sie aus konvergenten Folgen besteht.
(ii) Berechnen Sie den Grenzwert dieser neuen Folgen.
(iii) Berechnen Sie nun damit den gesuchten Grenzwert, und zitieren sie den verwendeten Satz.
12
Aufgabe 5
Beispiel: Epsilon muss frei wählbar sein Betrachten Sie die Folge (ln ) mit
ln ∶=
n + 10
999n + 1
a) Zeigen Sie, dass für ϵ = 10−3 und nε = 11 gilt: ∣ln −
b) Ist damit gezeigt, dass die Folge (ln ) gegen
1
1000
1
∣ < ϵ für alle n ≥ nε .
1000
konvergiert? Begründen Sie Ihre Antwort.
c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (ln ) mit Hilfe von Satz 1.9.
2
1
2
5
Aufgabe 6 (Beispiel: Beweis der Monotonie einer Folge)
Sei (an )n∈N0 eine Zahlenfolge. Wie in der Vorlesung gesehen (Definition 1.15, s.11) sagen wir:
Die Folge (an )n∈N0 ist monoton wachsend genau dann wenn:
Für jedes n ≥ 0 gilt an ≤ an+1 .
Die Folge an ist monoton fallend genau dann wenn:
Für jedes n ≥ 0 gilt an ≥ an+1 .
Sie heisst streng monoton fallend/wachsend wenn zusätzlich alle Folgenglieder verschieden sind.
Gegeben sind die Folgen (on )n∈N und (pn )n∈N .
a) on ∶=
5n
5n+1
b) pn ∶=
√ 1
2n2 +3
Zeigen Sie, dass diese Folgen streng monoton sind.
UZH Institut für Mathematik, Dr. C. Albertini
4
Abgabe 21. Oktober 2016, 8:00