Tag 1: Metrische Räume und Folgen

Matthäus Pawelczyk
Patrick Duurland
Analysis I Repetitorium
Wintersemester 2012/13
Tag 1: Metrische Räume und Folgen
Aufgabe 1. Kreuzen Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a) Eine komplexe Folge (an ) hat genau dann den Grenzwert a ∈ C, wenn in jeder Umgebung
von a unendlich viele Folgenglieder von (an ) liegen.
wahr
falsch
b) Eine reelle Folge (an ) konvergiert, wenn (a2n ) konvergiert.
wahr
falsch
c) Ist (an ) eine monoton wachsende Folge positiver reeller Zahlen, so konvergiert (a−1
n ).
wahr
d) Die Folge (an ) mit an :=
1+i
√
2
n
falsch
hat genau 6 Häufungspunkte.
wahr
falsch
e) Eine Folge mit überabzählbar vielen Häufungspunkten ist beschränkt.
wahr
falsch
f) Jede beschränkte Folge besitzt eine Teilfolge, die eine Cauchy-Folge ist.
wahr
falsch
g) Ist (an ) konvergent mit an 6= 0 für alle n ∈ N, dann auch ( an+1
an ) und limn→∞
wahr
an+1
an
= 1.
falsch
h) Sei (M, d) ein metrischer Raum und A ⊂ M . Dann ist auch (A, d) ein metrischer Raum.
wahr
falsch
i) Sei (M, d) ein vollständiger metrischer Raum und A ⊂ M . Dann ist auch (A, d) ein
vollständiger metrischer Raum.
wahr
falsch
j) Die Menge K ⊂ C 0 ([0, 1]; [0, 1]), ausgestattet mit der Supremumsnorm, ist genau dann
kompakt, wenn K abgeschlossen und beschränkt ist.
wahr
falsch
k) Jede nicht-offene Teilmenge A eines metrischen Raumes ist bereits abgeschlossen.
wahr
falsch
Aufgabe 2. Bestimmen Sie von folgenden Folgen alle Häufungspunkte sowie gegebenenfalls
den Grenzwert.
42
a) an = √
3
n
−n4 + n2 − 1
b) bn = n 4
i n + in2 + 1
c) cn = 2−n (1 + (−1)n ) + 1
nn
n! √ √
√
e) en = (−1)n n( n + 1 − n)
n + cos n
f) fn =
2n − (sin n)3
d) dn =
Aufgabe 3. a) Sei (an ) eine Nullfolge und (bn ) eine beschränkte Folge. Beweisen Sie, dass
(an · bn ) eine Nullfolge ist.
b) Geben Sie ein Gegenbeispiel zur folgenden Aussage an: Ist (an ) eine Folge, sodass (|an |)
monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, dann konvergiert (an ).
√
c) Sei (xn ) eine Folge und sei yn := xn n n. Beweisen Sie, dass (xn ) und (yn ) die gleichen
Häufungspunkte haben.
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass die folgenden Folgen konvergieren und bestimmen Sie den Grenzwert.
a)
b)
c)
d)
e)
an = (n + 1)c − nc , wobei c ∈ (0, 1)
an = n2 z n , wobei z ∈ C mit |z| < 1
a0 ∈ [0, 1] und an+1 = an2+1 für n ≥ 1
1
a0 = 0. und an+1 = 1 − 2+a
für n ≥ 1.
n
p
a
an = n(1 − 1 + n ), a > 0
Aufgabe 5. Seien a0 und b0 positive reelle Zahlen. Für n ≥ 0 sei an+1 = (an + bn )/2 und
bn+1 = (an · bn )1/2 . Zeigen Sie, dass (an ) und (bn ) konvergieren und den gleichen Grenzwert
haben.
√
Hinweis: Zeigen Sie erst, dass für alle positiven Zahlen a, b die Ungleichung ab ≤ a+b
2 gilt.
Aufgabe 6. Sei (X, d) ein metrischer Raum und eine weitere Metrik δ : X × X → R gegeben
durch
d(x, y)
δ(x, y) :=
für alle x, y ∈ X.
1 + d(x, y)
Zeigen Sie: Für x ∈ X konvergiert die Folge (xk ) ⊂ X genau dann bezüglich d gegen x, wenn
sie bezüglich δ gegen x konvergiert.