Musterlösung¨Ubung 4

MAT 184: Mathematik für die Chemie I, HS 14
Prof. Dr. T. Willwacher
Musterlösung Übung 4
Aufgabe 1 (4 Punkte):
(a) Kartesische Koordinaten:
√
√
√
(1 − i)(2 − 2 3i)
1 − 3 − i( 3 + 1)
=
16
8
Polarkoordinaten:
√ −i π
√
2e 4
2 −i 7π
√ iπ =
e 12
4
16e 3
(b) Kartesische Koordinaten:
√
√
√
√
√
√
( 3 − 1) 5 ( 3 + 1) 5
( 15/2 − 5/2i)(3 − 3i)
=
−
i
18
12
12
Polarkoordinaten:
√ −i π
√
5e 6
10 −i 5π
√ iπ =
e 12
6
18e 4
Schlussfolgerung: Wenn sich die Zahlen schön in Polarkoordinaten darstellen lassen, d.h.
jede Zahl hat einen geeigneten Winkel, dann ist es einfacher den Quotienten in Polarkoordinaten zu berechnen.
Aufgabe 2 (4 Punkte):
(a) (x − i)(x + i)
(b) (x − 0)(x − 0)
(c) x4 − x3 − 3x2 + 3x − i(3x3 − 3x2 − x + 1) = x(x − 1)(x2 − 3) − i(x − 1)(3x2 − 1)
= ((x − 1)(x2 − 1) − 2x(x − 1)i)(x − i) = (x(x − 1) − (x − 1)i)(x − i)2 = (x − 1)(x − i)3
(d) x3 − x2 + x − 1 = (x2 + 1)(x − 1) = (x − i)(x + i)(x − 1)
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Aufgabe 3 (5 Punkte):
(a) Die Menge ist nach oben und unten beschränkt. Inf=a, Sup=b, Max=b, das Minimum wird nicht angenommen.
√
√
(b) Die Menge ist nach oben und unten beschränkt. Inf=− 3, Sup= 3, das Minimum
und Maximum wird nicht angenommen.
(c) Die Menge ist nach oben und unten nicht beschränkt.
(d) Das Infimum und das Supremum wird nicht angenommen, somit hat die Menge
auch kein Maximum und Minimum.
15= x2 + 4x − 1
10
5
−6
−4
−2
2
4
−5
(e) Die Menge ist nach oben und nach unten beschränkt. Inf=0, sup=10, das Maximum
und Minimum wird nicht angenommen.
Aufgabe 4 (6 Punkte):
(a) Die Folge konvergiert gegen 3, HP = 3.
(b) Die Folge ist divergent, HP = 1 und 0.
(c) Die Folge konvergiert gegen cos(0) = 1, HP = 1.
(d) Die Folge ist divergent, HP = 1 und -1.
(e)
4n2 +3n
2n3 −5
=
4+3/n
,
2n−5/n2
die Folge konvergiert gegen 0, HP = 0.
(f) Die Folge konvergiert nicht, HP = 1 = cos(2nπ) und −1 = cos(2(n + 1)π).
Aufgabe 5 (4 Punkte)∗ :
Sei
p(z) = p̃Πni=1 (z − zi )ai ,
q(z) = q̃Πni=1 (z − zi )bi
wobei p̃, q̃ Konstanten sind. Wir haben
(q(z))N = q̃ N Πni=1 (z − zi )N bi .
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und wir wählen N gross genug so dass N bi ≥ ai ∀i. In diesem Fall teilt p(z) das Polynom
(q(z))N .
Die Aussage gilt nicht für reelle Polynome, da es möglich ist dass das Polynom keine
reelle Nullstellen hat, z.B. p(z) = z 2 + 1. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass
jedes komplexe Polynom mindestens eine Nullstelle hat. Diese Nullstelle muss aber bei
reellen Polynomen nicht in R liegen sondern kann auch in C sein.
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