Aufgaben zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I Prof. Dr

Aufgaben zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I
Prof. Dr. Holger Dette
Dr. Stefan Fremdt
WS 2013/2014
Blatt 3
Besprechung:
In der Übung Donnerstag, 7. November 2013
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
(a) Seien X und Y unabhängige, reelle Zufallsvariablen auf einem W’Raum (Ω, A, P ).
Zeige, dass für deren charakteristische Funktionen gilt:
ϕX ϕY = ϕX+Y .
(b) Zeige, dass zwei reelle Zufallsvariablen X und Y auf (Ω, A, P ) genau dann
unabhänging sind, wenn für deren charakteristische Funktionen gilt
ϕX (s)ϕY (t) = ϕ(X,Y ) (s, t) für alle s, t ∈ R.
(c) Sei ϕ die charakteristische Funktion einer absolut-stetigen d-dimensionalen Zufallsvariablen X. Zeige, dass ϕ nichtnegativ definit ist, d.h. es gilt:
m X
m
X
λi λj ϕ(ti − tj ) ≥ 0 für alle m ∈ N, λ1 , . . . , λm ∈ C, t1 , . . . , tm ∈ Rd .
i=1 j=1
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
(a) Für eine Menge M reeller Zufallsvariablen sei die Menge Mr = {|X|r : X ∈ M}
gleichgradig (P -)integrierbar. Zeige, dass dann auch die Menge
Mr∗ := {|aX + bY |r : X, Y ∈ Mr , a, b ∈ R, |a| ≤ 1, |b| ≤ 1}
gleichgradig integrierbar ist.
(b) Sei {Xn }n∈N eine i.i.d. Folge reeller Zufallsvariablen auf (Ω, A, P ) mit E|X1 |r < ∞,
wobei r ≥ 1 (fest). Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt dann:
n
1X
f.s.
X n :=
Xi −→ a := E[X1 ] (n → ∞).
n i=1
Zeige, dass auch
Lr
X n −→ a (n → ∞).
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
(a) Seien {Xn }n∈N und X reelle Zufallsvariablen auf (Ω, A, P ) mit
∞
X
P (|Xn − X| > ε) < ∞.
(1)
n=1
Dann gilt, dass Xn fast sicher gegen X konvergiert. Dies bedeutet, dass hinreichend
schnelle stochastische Konvergenz fast sichere Konvergenz impliziert.
Zeige, dass Bedingung (1) nicht notwendig für die fast sichere Konvergenz von Xn
gegen X ist.
(b) Seien {Xn }n∈N paarweise unkorrelierte und identisch verteilte Zufallsvariablen auf
(Ω, A, P ) mit endlicher Varianz. Zeige:
2
n
1 X
f.s.
Xi −→ E[X1 ] für n → ∞.
n2 i=1
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein W’Raum und {Xn }n∈N eine Folge d-dimensionaler Zufallsvariablen,
die in diesem stochastisch gegen eine Zufallsvariable X konvergiert. Zeige:
(a) Für jede stetige Funktion h : Rd → Rk konvergiert h(Xn ) stochastisch gegen h(X)
für n → ∞.
(b) Für jede Folge (an )n∈N d-dimensionaler Vektoren mit limn→∞ an = a konvergiert
aTn Xn stochastisch gegen aT X für n → ∞.
(c) Sei {Yn }n∈N eine weitere Folge d-dimensionaler Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum, die stochastisch gegen eine Zufallsvariable Y konvergiere. Zeige,
dass dann Xn + Yn stochastisch gegen X + Y und XnT Yn stochastisch gegen X T Y
konvergiert.