8. ¨Ubungsblatt Wahrscheinlichkeitstheorie I

Institut für Mathematik
Prof. A. Bovier / P. L. Ferrari
WS 2008/09
8. Übungsblatt Wahrscheinlichkeitstheorie I
1. Hausaufgabe
(4 Punkte)
Seien X1 , . . . , Xn unabhängige und exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter λ > 0 und
Zn := max Xi .
(1)
1≤i≤n
Zeigen Sie, dass die Folge
ln n
(2)
λ
in Verteilung gegen eine doppelexponentialverteilte Zufallsvariable Z konvergiert. Dabei ist die Verteilungsfunktion einer doppelexponentialverteilten Zufallsvariablen gegeben durch
Qn := Zn −
F (x) = exp(− exp(−λx)),
x ∈ R.
2. Hausaufgabe
(2 Punkte)
−α
Es sei Xn eine
Folge
von
Bernoulli
Zufallsvariablen
mit
P
(X
=
1)
=
1
−
P
(X
=
0)
=
n
für α > 1.
n
n
P∞
Es sei S = n=1 Xn .
1. Zeigen Sie dass E(S) < ∞.
2. Zeigen Sie, dass P(Xn = 1 für unendlich viele n) = 0.
3. Hausaufgabe
(7 Punkte)
Pn
k
Es sei Zn = P
k=0 a Xk mit a ∈ (0, 1) eine Konstante und Xk unabhängige Bernoulli-1/2 Zufallsvaria∞
blen. Sei Z = k=0 ak Xk .
1. Zeige, dass für jedes ω ∈ Ω, lim Zn (ω) = Z(ω) < ∞ existiert.
n→∞
2. Sei a = 1/2. Zeige, dass Z gleichverteilt auf dem Intervall [0, 2] ist.
3. Sei nun a < 1/2. Zeige, dass es eine Cantormenge C ⊂ [0, 1/1 − a] gibt, so dass P (Z ∈ C) = 1.
Seien nun Xk Gaussverteilt, Xk ∼ N (0, 1).
(a) Was ist die Verteilung der Zufallsvariablen Zn ? Zeige, dass Zn in Verteilung konvergiert. Was ist die
Grenzverteilung?
(b) Zeige, dass Z(ω) für fast alle ω endlich ist und dass Z eine Zufallsvariable definiert. Zeige, dass die
Verteilung von Z gerade die Grenzverteilung aus (a) ist.
(c) Zeige, dass Z − Zn fast sicher nach null konvergiert.
Bemerkung: Wenn Z und Zn , n ∈ N Zufallsvariablen sind und Z − Zn fast sicher nach null konvergiert,
sagen wir auch ”Die Folge der Zufallsvariablen Zn konvergiert fast sicher gegen die Zufallsvariable Z”.
1
4. Hausaufgabe
(7 Punkte)
Es seien X, X1 , X2 , . . . reellwertige Zufallsvariablen. Zeigen Sie:
P
D
1. Aus Xn −→ X folgt Xn −→ X, d.h. Konvergenz in Wahrscheinlichkeit impliziert Konvergenz in
Verteilung.
D
P
2. Ist X P -f.s. konstant, so gilt auch die Umkehrung: Xn −→ X impliziert Xn −→ X.
P
P
3. Aus (Xn − X)2 −→ 0 folgt Xn −→ X.
Pn
4. Aus Xn −→ X f.s. folgt n−1 i=1 Xi −→ X f.s.
Bemerkung: Wenn X und Xn , n ∈ N Zufallsvariablen sind und X − Xn in Wahrscheinlichkeit nach null
konvergiert, sagen wir auch ”Die Folge der Zufallsvariablen Xn konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen
die Zufallsvariable X”.
Abgabe: 16.12.2008
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