Blatt 14 Wahrscheinlichkeitstheorie WS 2007/08

Blatt 14
Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2007/08
Aufgabe 78 (Präsenzaufgabe). Seien X1 , X2 , . . . unabhängige Cauchy-verteilte Zufallsva1
riablen, d.h., jedes Xi besitze eine Dichte f der Form f (x) = π1 1+x
2 . Zeigen Sie, dass Yn :=
P
n
1
X
in
Verteilung
konvergiert
und
bestimmen
Sie
die
Grenzverteilung.
Konvergiert (Yn )
i
i=1
n
auch nach Wahrscheinlichkeit? Hinweis: Verwenden Sie die charakteristische Funktion ϕ(u) =
e−|u| , u ∈ R, von X1 .
Aufgabe 79 (Schriftliche Aufgabe). Beweisen Sie den zweiten Teil des Satzes von Slutsky
(Satz 10.7 der Vorlesung).
Aufgabe 80.
a) Xn (n ∈ N) und X seien reelle Zufallsvariablen mit Werten in der höchstens abzählbaren
Menge M ⊂ R. Zeigen Sie:
D
Xn → X ⇐⇒
∀
x∈M
lim P [Xn = x] = P [X = x]
n
b) Seien Xn (n ∈ N) und X reelle Zufallsvariablen mit Zähldichten (pn,k )k∈N bzw. (pk )k∈N .
Man zeige, dass (Xn ) gegen X nach Verteilung genau dann konvergiert, wenn
∀
k∈N0
pn,k → pk
(n → ∞).
Wie lässt sich somit der Satz von Poisson (Zusammenhang zwischen Binomial- und
Poisson-Verteilung) in der Terminologie der Verteilungskonvergenz formulieren?
Aufgabe 81. Xn (n ∈ N) und X seien reelle Zufallsvariablen mit Dichten fn bzw. f . Zeigen
D
Sie: Konvergiert fn punktweise (oder auch nur f.ü.) gegen f , so gilt Xn → X.
Aufgabe 82.
a) Es sei (Ω, A, P ) ein W-Raum und S der durch den Äquivalenzbegriff “ = P -fast sicher”
(d.h. “= P -fast überall”) definierte Raum von Äquivalenzklassen reeller Zufallsvariablen
auf (Ω, A, P ). Zeigen Sie, dass durch
Z
|Y − Z|
|Y − Z|
ρ(Y, Z) := E
:=
dP ,
Y, Z ∈ S,
1 + |Y − Z|
1 + |Y − Z|
Ω
in S eine Metrik eingeführt wird, bezüglich der S vollständig ist.
b) Es seien X, X1 , X2 , . . . reelle Zufallsvariablen auf einem W-Raum (Ω, A, P ). Zeigen Sie:
Xn → X nach Wahrscheinlichkeit (d.h. dem Maße P nach) ⇐⇒ E
|Xn − X|
→ 0.
1 + |Xn − X|
Aufgabe 83. Xn (n ∈ N) und X seien k-dimensionale Zufallsvektoren. Zeigen Sie:
D
Xn → X ⇐⇒ ∀ α ∈ Rk
D
αt Xn → αt X
Vorlesung und Übungen: J. Dippon, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65384, e-mail [email protected]
Übungen: N. Röhrl, Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung, Universität Stuttgart, 0711-685-65311, e-mail [email protected]
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