¨Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II Borel

Löhr/Winter
Wintersemester 2010/11
Übungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II
Übungsblatt 2
Borel-Cantelli
Aufgabe 2.1. Eine Münze mit Werten in { K, Z } und Wahrscheinlichkeit 32 für K werde
unendlich oft unabhängig geworfen. Sei Xn das Resultat des n-ten Wurfs und
An = { Xn+1 = Xn+2 = · · · = X2n = K },
n ∈ N,
das Ereignis, dass nach dem n-ten Wurf n-mal in Folge K kommt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit
\ [
An ,
P
N ∈N n≥N
dass dies für unendlich viele n passiert.
Aufgabe 2.2 (Anwendung von Borel-Cantelli auf Konvergenz von ZV). Seien X
sowie Xn , n ∈ N, reellwertige Zufallsvariablen. Zeige
P
(a) Für alle ε > 0 gelte n∈N P |Xn − X| > ε < ∞. Dann konvergiert (Xn )n∈N fast sicher
gegen X.
(b) Konvergiert (Xn )n∈N stochastisch gegen X, so existiert eine Teilfolge (Xnk )k∈N , die fast
sicher gegen X konvergiert.
P
(c) Gilt n∈N kXn − Xk1 < ∞, so konvergiert (Xn ) fast sicher gegen
X. Hierbei ist wie
1
gewöhnlich k · k1 die L -Norm, also kXn − Xk1 = E |Xn − X| .
Hinweis: Verwende (a).
Aufgabe 2.3 (Anwendung der ,,Umkehrung” in Borel-Cantelli).
(a) Sei Bp die Bernoulli-Verteilung auf { 0, 1 } mit Parameter p ∈ [0, 1] (also Bp ({ 1 }) = p).
Sei (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen, wobei die Verteilung von Xn
durch B 1 gegeben sei. Konvergiert die Folge fast sicher?
n
(b) Sei (Xn )n∈N eine Folge unabhängig und identisch verteilter reellwertiger Zufallsvariablen
mit E |Xn | = ∞. Zeige, dass dann
P |Xn | ≥ n für unendlich viele n = 1.
Abgabe: Di, 02.11. in der Übungsstunde
Arbeitsgruppenvorträge:
Am 26.10. (heute) gibt Anton Klimovsky vom Hausdorff-Zentrum Bonn einen Vortrag über
Universal macroscopic behaviour of evolving genealogies of
spatial Lambda-Flemming-Viot processes
Abstract: We consider a class of stochastic processes – the so-called spatial Lambda-FlemmingViot processes – that describe the evolution of the genealogies in the spatially extended
populations with migration and occasionally large (i.e., comparable to the population size)
reproduction events. What reproduction mechanisms can be observed in these processes on
the macroscopic level? We argue that, in the regime when the migration mechanism mixes
the spatially extended population well, the macroscopic reproduction behaviour is rather
universal and is described by the Kingman coalescent. Joint work in progress with A. Greven
and A. Winter.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: 16.00 – 17.00. Raum: S05 T03 B72