Prüfung - Universität Zürich

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MAT901 – Stochastik I
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Prüfung
MAT901 – Stochastik I
02/09/2015
Aufgabe 1 (5+5 Punkte)
a) Sei N ∈ N. In einer Klasse gibt es 2N Schüler. Es werden 2 Mannschaften zufällig
gewählt. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 bestimmte Schüler in der selben
Mannschaft sind?
b) In einem Laden ist eine Alarmanlage eingebaut, die im Falle eines Einbruchs mit
99% Wahrscheinlichkeit die Polizei alarmiert. In einer Nacht ohne Einbruch wird mit
0,2% Fehlalarm ausgelöst (z.B. durch eine Maus). Die Einbruchswahrscheinlichkeit
für eine Nacht beträgt 0,005%. Die Anlage hat gerade Alarm gegeben. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist ein Einbruch im Gange?
Aufgabe 2 (5+5 Punkte)
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Sei (An )n∈N eine Folge von Ereignissen in A mit P(An ) = 1 für alle n ∈ N. Dann gilt
∞
\
P
An = 1.
n=1
b) Die Ereignisse A, B ∈ A seien unabhängig und es gelte A ⊂ B. Dann gilt entweder
P (A) = 0 oder P (B) = 1.
Aufgabe 3 (10 Punkte)
Seien X1 , . . . , Xn unabhängige und exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter
α > 0 (für alle j = 1, . . . , n, hat also Xj die Dichte ρ(x) = αe−αx 1(x ≥ 0)). Sei
Zn := max Xi .
1≤i≤n
Zeigen Sie, dass die Folge
ln n
α
in Verteilung gegen eine Zufallsvariable Z konvergiert, mit der Verteilungsfunktion
Qn := Zn −
FZ (x) = exp(− exp(−αx)),
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x ∈ R.
MAT901 – Stochastik I
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Aufgabe 4 (5+5 Punkte)
Seien {Xn }n∈N unabhängig, identisch verteilte, quadratintegrierbare Zufallsvariablen.
a) Sei T eine N0 := N ∪ {0} wertige, quadratintegrierbare Zufallsvariable, und T unabhäng von {Xn }n∈N . Wir definieren die neue Zufallsvariable
Z :=
T
X
Xk .
k=1
Zeigen Sie, dass Z quadratintegrierbar ist, und, dass
Var(Z) = E(T ) Var(X1 ) + Var(T ) (EX1 )2 ,
wobei Var(X) = E(X − E(X))2 = EX 2 − (EX)2 die Varianz von X ist.
b) Sei E[X1 ] = 0 und a ∈ [1, 2). Seien {Tn }n∈N , unabhängig identisch verteilte, N0
wertigen, quadratintegrierbare Zufallsvariablen, mit E[Tn ] ≤ na , und Tn unabhängig
von {Xn }n∈N . Zeigen Sie, dass
T
n
1X
Xk → 0
Zn :=
n k=1
in Wahrscheinlichkeit, als n → ∞ .
Aufgabe 5 (10 Punkte)
Sei {Un }n∈N eine Folge unabhängiger und auf [1, 2] gleichverteilter Zufallsvariablen (für
alle n ∈ N hat also Un die Dichte ρ(x) = 1(x ∈ [1; 2])). Sei
! n1
Yn :=
Y
Un
.
n
Zeigen Sie, dass {Yn }n∈N fast sicher konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
Aufgabe 6 (10 Punkte)
Sei {Xn }n∈N eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit Werten in {0, 1} und so, dass P(Xn = 1) = 1/n und P(Xn = 0) =
1 − 1/n. Bestimmen Sie
P({x ∈ Ω : Xn (x) konvergiert für n → ∞}).
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MAT901 – Stochastik I
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Aufgabe 7 (5+5 Punkte)
Seien X1 , . .√. , Xn unabhängige und identisch verteilte Poisson Zufallsvariablen mit Parameter λ/ n. Für alle j = 1, . . . , n hat also Xj die Verteilung
√
(λ/ n)k −λ/√n
P(Xj = k) =
e
für alle k ∈ N.
k!
Sei Yn definiert durch
Pn
Yn :=
√
Xk − λ n
√
.
λ n1/4
k=1
a) Bestimmen Sie die charakteristische Funktion von Yn .
b) Zeigen Sie, dass Yn in Verteilung gegen Y ∼ N (0, 1) konvergiert (N (0, 1) bezeichnet
hier die Normalverteilung, mit Erwartungswert 0 und Varianz 1).
Aufgabe 8 (2+2+2+4 Punkte)
Betrachte eine Markovkette mit Zustandsraum
trix

0 21 12 0
 0 0 1 0

 0 0 0 1
 1 1 1

0
3
3
3
0 0 0 12
S = {1, 2, 3, 4, 5} und Übergangsma
0
0 

0 
.
0 
1
2
a) Stellen Sie die Markovkette graphisch dar.
b) Geben Sie die wesentlichen und die unwesentlichen Klassen der Markovkette an.
c) Bestimmen Sie die Perioden der einzelnen Zuständen.
d) Schreiben Sie die allgemeinste invariante Verteilung dieser Markovkette.
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