Blatt 6

TUM, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Physik
WS 2013/14
Prof. Dr. Silke Rolles
Thomas Höfelsauer
Felizitas Weidner
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Übungsblatt 6
Tutoraufgaben:
Aufgabe T6.1
Bestimmen Sie die Varianzen der Zufallsvariablen Xi mit i ∈ {1, . . . , 5}, falls
(i) X1 Bernoulli(p)-verteilt zum Parameter p ∈ (0, 1),
(ii) X2 Binomial(n, p)-verteilt zu den Parametern p ∈ (0, 1) und n ∈ N,
(iii) X3 Geometrisch(p)-verteilt zu einem Parameter p ∈ (0, 1),
(iv) X4 Poisson(λ)-verteilt zum Parameter λ > 0 und
(v) X5 Exponential(λ)-verteilt zum Parameter λ > 0 ist.
Aufgabe T6.2
Sei (X, Y ) eine Zufallsvariable mit Zähldichte ρ, die wie folgt gegeben ist:
ρ(x, y)
y = −1
y=0
y=1
x = −1
0
1
4
1
8
x=0
1
8
0
1
8
x=1
1
8
0
1
4
Bestimmen Sie die Randverteilungen von X und Y sowie die Verteilung des Produkts
Z = X · Y . Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig?
Aufgabe T6.3* (Zusatzaufgabe)
Seien X und Y unabhängige, auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen.
Zeigen Sie, dass dann P(X = Y ) = 0 gilt.
Hausaufgaben:
Aufgabe H6.1
(i) Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in Z und Verteilungen
PX und PY . Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable X + Y die Verteilung
X
PX+Y ({k}) =
PX ({n})PY ({k − n}), k ∈ Z
n∈Z
besitzt.
(ii) Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y , falls X und Y unabhängig und Poissonverteilt zu den Parametern λ und µ sind.
(iii) Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsdichten f
und g. Zeigen Sie, dass auch X + Y eine Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt und
geben Sie eine solche an.
Aufgabe H6.2
Bei einer Entenjagd schießen k Jäger gleichzeitig je einmal auf einen Schwarm aus m
Enten. Sie suchen sich unabhängig voneinander eine Ente aus, auf die sie zielen, und
treffen diese Ente unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1]. Geben
Sie ein Wahrscheinlichkeitsmodell an, das die Situation beschreibt. Bestimmen Sie den
Erwartungswert der Anzahl der unverletzten Enten.
Aufgabe H6.3
Betrachten Sie die Abbildung f : R2 → R, (x, y) 7→ 2e−(x+2y) 1[0,∞)2 (x, y).
(i) Zeigen Sie, dass f eine Dichtefunktion ist.
(ii) Sei (X, Y ) eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte f . Berechnen Sie die
Randverteilungen von X und Y . Sind X und Y unabhängig?
(iii) Berechnen Sie die Kovarianz von X und Y .
(iv) Berechnen Sie P(X > Y ).
Aufgabe H6.4
Seien X, Y ∈ L2 mit Var(X), Var(Y ) > 0. Dann ist der Korrelationskoeffizient von X
und Y definiert durch
Cov(X, Y )
p
κX,Y := p
.
Var(X) Var(Y )
Zeigen Sie, dass
min E (Y − βX − α)2 = (1 − κ2X,Y ) min E (Y − γ)2
α,β∈R
γ∈R
gilt.
Abgabe der Hausaufgaben: Am Freitag, den 24. Januar 2014, bis 12 Uhr im Briefkasten „Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie“ im Untergeschoss des MI-Gebäudes