UE Statistik (LV

UE Statistik (LV-Nr. 405.163)
Wintersemester 2016/2017, 6. Blatt
1. Es sei X ∼ F , wobei die Verteilungsfunktion F für ein λ > 0 gegeben ist durch:
(
0
,x<0
.
F (x) = 1 4
−λx
+
1
−
e
,
x
≥
0
5
5
Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.
2. Es seien X, Y zwei Zufallsvariable mit X ∼ E(λ) und Y ∼ E(λ/2), λ > 0, welche die
Lebensdauer von zwei Bauteilen bezeichnen. Berechnen Sie die maximale Wahrscheinlichkeit, dass beide Bauteile gleichzeitig ausfallen, d.h. es ist die maximale Wahrscheinlichkeit
P(X = Y ) gesucht. Siehe dazu Satz 6 auf der letzten Seite von
http://www.trutschnig.net/Copulas_Anwendungsbeispiel.pdf.
3. Zeigen Sie: Ist X eine nicht-negative Zufallsvariable mit E(X) = 0, dann existiert eine
Menge A ∈ A mit P(A) = 1, sodass X(ω) = 0 für alle ω ∈ A. Gilt auch die Umkehrung
der Aussage? Was folgt damit für Zufallsvariable X mit V(X) = 0?
4. Sei X eine nicht-negative absolut stetige Zufallsvariable mit Dichte f , wobei (der Einfachheit halber) f (x) = 0 für alle x ∈ [0, M ]c gelte (M > 0 fest). Berechnen Sie den
Erwartungswert E(X) gemäß Definition 5.6, indem Sie die im Beweis von Satz 5.5 verwendete Approximation (5.5) verwenden.
Hinweis: Satz 5.5 und Definition 5.6.
5. Es seien X, Y zwei beliebige Zufallsvariable mit E(|X|r ) < ∞ und E(|Y |r ) < ∞ für
0 < r < ∞. Zeigen Sie die folgende Ungleichung
E(|X + Y |r ) ≤ cr E(|X|r ) + E(|Y |r ) ,
wobei
(
1
cr =
2r−1
, falls 0 < r ≤ 1
, falls r > 1.