Hausaufgabe 1

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, Dr. M. Tautenhahn
Statistik, WS 12/13
Hausaufgabe 1
Abgabe am 28.10.2013 in der Vorlesung
Aufgabe 1. Es sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter ϑ > 0.
Das heißt, die Verteilung von X besitzt die Dichtefunktion
(
ϑe−ϑx für x ≥ 0,
fϑ (x) =
0
für x < 0.
Weiterhin sei (X1 , . . . , Xn ) eine Stichprobe vom Umfang n.
2
P
(a) Prüfen Sie, ob Tn = n1 ni=1 Xi eine Erwartungstreue Schätzfunktion für 1/ϑ2 ist.
(b) Wenn nicht, dann berechnen Sie den systematischen Fehler (Bias) der Schätzfunktion
Tn und geben Sie eine Erwartungstreue Schätzfunktion Tn∗ für 1/ϑ2 an.
Aufgabe 2. Für i = 1, . . . , n seien Xi , Yi ∈ L2 (P) reellwertige Zufallsvariablen. Sei
Zi = (Xi , Yi ). Wir nehmen an, daß Z1 , . . . , Zn unabhängig identisch verteilt sind. Zeigen
Sie, dass
n
1 X
SXY =
(Xi − X)(Yi − Y )
n − 1 i=1
eine
Schätzung für die Kovarianz von X1 und Y1 ist. Hier ist X =
Pnerwartungstreue1 P
n
1
X
und
Y
=
i
i=1
i=1 Yi .
n
n
Aufgabe 3. Für ein ϑ > 0 sei X1 , X2 , . . . eine Folge unabhängiger, identisch verteilter
Zufallsvariablen mit der Dichtefunktion
(
1/ϑ falls 0 ≤ x ≤ ϑ,
fϑ (x) =
0
sonst,
Zeigen Sie, daß Tn =
2
n
Pn
i=1
Xi eine konsistente Schätzfunktion für ϑ ist.
Aufgabe 4. Bei einem Sommerfest des Kaninchenzüchtervereins sollen K Kaninchen
verlost werden. Dazu werden N ≥ K Lose gedruckt, davon K Gewinne, der Rest Nieten.
Der liebe Fabian bringt – zum Entsetzen seiner Mutter – x Kaninchen mit nach Hause,
1 ≤ x ≤ K. Wie viele Lose hat er wohl gekauft? Geben Sie eine Schätzung mittels der
Maximum-Likelihood-Methode!
Bitte wenden!
Aufgabe 5 (Zusatz). In einer Lostrommel befinden sich N Lose mit den Nummern
1, 2, . . . , N , N ∈ N unbekannt. Der kleine Fritz (Name aus Datenschutzgründen geändert)
will wissen, wie viele Lose sich in der Trommel befinden und entnimmt in einem unbeobachteten Augenblick ein Los, merkt sich die aufgedruckte Nummer und legt es wieder
in die Trommel zurück. Das macht er n mal.
(a) Berechnen Sie aus den gemerkten Nummern x1 , . . . , xn einen Maximum-LikelihoodSchätzer T für N . Ist dieser erwartungstreu?
(b) Berechnen Sie approximativ für großes N den relativen Erwartungswert EN (T )/N .
Hinweis: Fassen Sie einen geeigneten Ausdruck als Riemann-Summe auf.