1. Gegeben seien das Polynom P(t)

1. Gegeben seien das Polynom
P (t) = 3
(t − 1) (t − 2)
t (t − 2)
t (t − 1)
−4
+2
,
−1
−2
1 −1
2 1
(1)
das Gleichungssystem

1
1
1
0
1
2
   
0
a
3
1  b  = −4
4
c
2
(2)
und das Polynom Q(t) = cx2 + bx + a.
(a) Berechnen Sie P (t) − Q(t).
(b) Das Polynom R(t) sei durch die Stützpunkte (0, 3); (1, −4); (2, 2); (3, 1) bestimmt. Ermitteln Sie eine
Abschätzung für |R(t) − P (t)| mit t ∈ [0, 3].
2. Gegeben sei die Fixpunktform x = Φ(x) mit Φ(x) = 4x(1 − x).
(a) Skizzieren Sie Φ(x) und bestimmen Sie graphisch die Fixpunkte.
(b) Berechnen Sie die Fixpunkte.
(c) Führen Sie 10 Fixpunktiterationen, beginnend mit x0 = 0.1, durch.
(d) Welches Verhalten (Konvergenz) erwarten Sie von der Fixpunktiteration aus 2c?
3. Wieso ist es bei wissenschaftlicher Notation im IEEE-754 double Standard nicht sinnvoll sich auf Stellen
nach der 16. Nachkommastelle zu verlassen?
n
4. Für zwei nichtnegative ganze Zahlen n und k ist der Binomialkoeffizienz
definiert als
k
n!
n
,
=
k
k!(n − k)!
wobei
(3)
n
= 0 für n < k. Insbesondere gilt 0! = 1.
k
(a) Implementiere Sie eine Matlab-Funktion binomial.m zur Berechnung des Binomialkoeffizienten mit
den Eingabeparametern n und k. Die Existenz einer Funktion y = f akultaet(n) kann vorausgesetzt
werden. Eine Überprüfung der Eingabedaten auf Sinnhaftigkeit ist nicht notwendig.
(b) Implementieren Sie die in 4a benutzte Funktion f akultaet.
(c) Wie lässt sich der Binomialkoeffizienz insbesondere für große n (z.B. 170! > 7.2 × 10306 , 171! kann
im IEEE-754 double Format nicht mehr dargestellt werden) günstiger implementieren?
5. Gesucht ist eine Quadraturformel von möglichst hoher Ordnung mit s=2.
(a) Berechnen Sie die Gewichte bi und Knoten ci der obigen Quadraturformel.
(b) Geben Sie die maximale Ordnung der Quadraturformel aus 5a an.
R1
(c) Gegeben sei die Funktion f (x) = √1x . Berechnen Sie analytisch das Integral 0 f (x)dx. Benutzen Sie
zusätzlich die Quadraturformel aus 5a mit 1,2,4 und 8 Teilintervallen zur Berechnung des Integralwerts.
(d) Schätzen Sie die Ordnung des Verfahrens auf Grundlage der Ergebnisse in 5c.
Zusatz: Geben Sie ein Vermutung ab, warum die Ordnung aus 5b nicht mit der Schätzung aus 5d übereinstimmt.
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