Statistik für Wirtschaftsingenieure, W3 Prüfungsklausur

Statistik für Wirtschaftsingenieure, W3
Prüfungsklausur - Teil A
15. Februar 2006
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe
Punkte (Soll)
Punkte (Ist)
A.1
2
A.2
2
A.3
2
A.4
2
A.5
2
A.6
2
A.7
2
A.8
2
A.9
4
Teil A
20
erlaubte Hilfsmittel: keine
Es sind alle neun Aufgaben zu lösen. Die Bearbeitungszeit beträgt 30 Minuten.
Alle Ergebnisse und Arbeitsschritte sind zu begründen.
Die Rechenwege müssen deutlich erkennbar sein.
Aufgabe A.1 (2 Punkte)
X sei eine diskrete Zufallsgröße mit P (X = −1) =
Berechnen Sie die Varianz D2 X.
1
1
und P (X = 0) = P (X = 1) = .
2
4
Aufgabe A.2 (2 Punkte)
Was versteht man unter der Verteilungsfunktion einer (beliebigen) Zufallsgröße X?
Aufgabe A.3 (2 Punkte)
Gegeben ist ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und zwei Ereignisse A ∈ A und B ∈ A.
Wann heißen A und B a) unvereinbar, b) unabhängig?
Aufgabe A.4 (2 Punkte)
(X1 , . . . , Xn ) sei eine mathematische Stichprobe aus einer normalverteilten Grundgesamtheit, X1 ∼ N (µ, σ 2 ). Geben Sie eine erwartungstreue Schätzung für D2 X1 an.
Aufgabe A.5 (2 Punkte)
Was versteht man unter einem vollständigen Ereignissystem?
Aufgabe A.6 (2 Punkte)
Formulieren Sie den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit.
Aufgabe A.7 (2 Punkte)
Es sei (Yn )n∈N eine Folge von Schätzungen für einen unbekannten Parameter ϑ ∈ R. Wann
heißt (Yn )n∈N (schwach) konsistent?
Aufgabe A.8 (2 Punkte)
Die Zufallsgrößen X1 und X2 seien unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter λ.
Geben Sie die Dichte des Zufallsvektors Y = (X1 , X2 ) an.
Aufgabe A.9 (4 Punkte)
Gegeben sei ein statistisches Modell (Ω, A, (P γ )γ∈Γ ) und eine mathematische Stichprobe
X : Ω → Rn , (X = (X1 , . . . , Xn )). Es sei Ψ : Rn → {0, 1} ein Test für die Hypothese
H0 : γ = γ0 , d.h. die Menge A1 = {x ∈ Rn : Ψ(x) = 1} ist der Ablehnungsbereich der
Hypothese H0 .
a) Was versteht man unter dem Fehler 1. Art ?
b) Wann heißt dieser Test Signifikanztest zur Irrtumswahrscheinlichkeit α ?
Statistik für Wirtschaftsingenieure, W3
Prüfungsklausur - Teil B
15. Februar 2006
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe
Punkte (Soll)
Punkte (Ist)
B.1
10
B.2
10
B.3 B.4
10
10
Teil B
30
Teil A
20
Σ
50
Ergebnis
erlaubte Hilfsmittel: nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Formelsammlung, statistische Tabellen, zwei A4-Seiten (= ein A4-Blatt) handschriftliche Aufzeichnungen
Von den folgenden vier Aufgaben sind drei Aufgaben zu lösen.
Alle Ergebnisse und Arbeitsschritte sind zu begründen.
Die Rechenwege müssen deutlich erkennbar sein.
Aufgabe B.1 (10 Punkte)
Eine stetige Zufallsvariable Y besitzt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die der Dichtefunktion
 2
y


4c
fY (y) =

 0
für y ∈ [−2; 4]
sonst
mit einer Konstanten c genügt.
a) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten c !
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt Y Werte größer oder gleich 1 an?
c) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Varianz von Y !
Aufgabe B.2 (10 Punkte)
Ein Werk für Mobiltelefone produziert im Mittel 98, 5% fehlerfreie Geräte. Die Mobiltelefone werden für die Auslieferung an einen Großhändler zu jeweils 150 Stück auf eine
Palette verpackt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich auf einer solchen Palette höchstens
zwei defekte Mobiltelefone? Verwenden Sie sowohl die exakte Verteilung als auch
eine geeignete Näherung!
b) Wieviele Geräte aus dem Werk sind zu testen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 95% unter den getesteten Geräten mindestens ein defektes Mobiltelefon zu finden? Rechnen Sie hier ebenfalls mit der exakten Verteilung sowie einer
geeigneten Näherung!
c) Sechs Paletten mit Mobiltelefonen werden in einen Container geladen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit befinden sich im Container mindestens fünf defekte Geräte? Nutzen Sie hier eine geeignete Näherung!
Aufgabe B.3 (10 Punkte)
Bei der Erhebung der täglichen Besucherzahlen für das Planetarium und den Tierpark in
Cottbus wurden an acht Tagen folgende Werte ermittelt:
Tag i
Besucherzahl Planetarium
Besucherzahl Tierpark
1 2
74 44
64 88
3
4
102 36
48 56
5
6
92 56
48 112
7 8
58 74
88 56
Langjährige Untersuchungen haben belegt, dass die täglichen Besucherzahlen von Planetarium und Tierpark durch normalverteilte Zufallsgrößen beschrieben werden können.
Darüber hinaus können die zugehörigen Varianzen als gleich angenommen werden.
Untersuchen Sie, ob das Planetarium im Mittel weniger besucht wird als der Tierpark!
Treffen Sie dazu eine verbale Aussage! Geben Sie insbesondere die von Ihnen verwendeten Hypothesen, die Testgröße und deren Verteilung sowie den kritischen Bereich an!
Verwenden Sie eine Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0, 05!
Aufgabe B.4 (10 Punkte)
Ein Merkmal X unterliegt einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion P (X = k) = (k − 2)p2 (1 − p)k−3 für k = 2, 3, 4, ... . Weiterhin gilt
2+p
für den Erwartungswert E(X) =
.
p
a) Geben Sie mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode eine Schätzfunktion für den
Parameter p an!
b) Ermitteln Sie einen Schätzer für den Parameter p mittels der Momentenmethode!
c) Bestimmen Sie mit Hilfe der in a) und b) gefundenen Schätzfunktionen aus der
Stichprobe
95
konkrete Schätzwerte für p!
43
23
52
20
74
83
18