Testklausur zur Statistik - an der Universität Duisburg

Universität Duisburg-Essen
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. D. Belomestny
29.12.2015
Testklausur zur Statistik
vom WiSe 2015/16
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Bitte in
Aufgabe
Punkte
Geb.-datum
DRUCKSCHRIFT
Matr.-Nr.
ausfüllen!!!
1
2
3
4
5
6
7
8
Gesamt
(3)
(4)
(6)
(5)
(4)
(6)
(5)
(7)
(40)
P
=
Bestanden: ≥ 20 Punkte
- Bitte nicht ausfüllen! -
Viel
Erfolg!
Aufgabe 1 (3 Punkte)
Eine Urne enthält vier Zettel mit den Zahlen 112, 121, 211, 222. Man zieht
zufällig einen Zettel aus der Urne und zeichnet das Ergebnis auf. Man betrachte die folgende Ereignisse:
A1 = {auf Zettel steht 1 auf dem ersten Platz},
A2 = {auf Zettel steht 1 auf dem zweiten Platz},
A3 = {auf Zettel steht 1 auf dem dritten Platz}.
Beantworten Sie die Fragen.
1. Sind die Ereignisse A1 , A2 und A3 paarweise unabhängig ?
2. Sind die Ereignisse A1 , A2 und A3 unabhängig?
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Man betrachte eine unabhängige Stichprobe X1 , X2 , . . . , Xn aus der Gleichverteilung auf [0, θ]. Ist der Schätzer
T (X1 , X2 , . . . , Xn ) = max(X1 , X2 , . . . , Xn )
unverzerrt für θ ?
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Sei X eine Zufallsvariable, die die Werte 0, π/2 und π jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/3 annehmen kann. Man betrachte die Zufallsvariable Y1 = sin(X)
und Y2 = cos(X).
1. Sind Y1 und Y2 unkorreliert ?
2. Sind Y1 und Y2 unabhängig ?
Aufgabe 4 (5 Punkte)
Betrachten wir eine unabhängige Stichprobe aus der Binomialverteilung mit
dem Parameter θ ∈ (0, 1). Finden Sie den ML-Schätzer für θ. Ist er eindeutig
?
Aufgabe 5 (4 Punkte)
Man betrachte eine unabhängige Stichprobe X1 , X2 , . . . , Xn aus der GammaVerteilung Γ(θ, λ). Finden Sie den ML-Schätzer für θ. Beweisen Sie, dass dieser Schätzer tatsächlich die ML-Funktion minimiert.
Aufgabe 6 (6 Punkte)
Ein Fußballspieler läuft 1 Meter vorwärts mit Wahrscheinlichkeit 1/2, bleibt
stehen mit Wahrscheinlichkeit 1/3 und läuft 1 Meter zurück mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Berechnen Sie die erwartete Distanz, die er nach vorn in einer
Stunde macht.
Aufgabe 7 (5 Punkte)
Sei X1 , X2 , . . . , Xn eine unabhängige Stichprobe aus der Gamma-Verteilung
n
P
Xi ein unverzerrter
Γ(θ−1 , 1). Zeigen Sie, dass T (X1 , X2 , . . . , Xn ) = n1
i=1
Schätzer für θ mit minimaler Varianz in der Klasse von unverzerrten Schätzern
ist.
Aufgabe 8 (7 Punkte)
Consider iid random variables X1 , X2 , . . . , Xn from Binomial distribution
Bi(1, θ). Prove, that there are no unbiased estimator T (X1 , X2 , . . . , Xn ) for
θn+1 .