Probeklausur zur Mathematischen Statistik - Humboldt
Werbung
Markus Bibinger, Mathias Trabs
Mathematische Statistik
Sommersemester 2014
Humboldt-Universität zu Berlin
Probeklausur zur Mathematischen Statistik
1.
(a) Es seien X1 , . . . , Xn i.i.d. binomial verteilt mit Parametern n ∈ N und p ∈ (0, 1).
Bestimmen Sie mit der Momentenmethode Schätzer für die Parameter n und p.
(b) Es seien X1 , . . . , Xn i.i.d. Lognormalverteilt mit Lebesgue-Dichte
f (x) = √
§
1
(log x − µ)2 ª
exp −
, x ≥ 0, µ ∈ R, σ > 0 ,
2σ 2
2πσx
Bestimmen Sie mit
der Momentenmethode Schätzer für µ und σ 2 .
Z
∞
Hinweis: Es gilt
2.
√ 1 eky−
2
−∞ 2πσ
(y−µ)2
2σ 2
dy = ekµ+
k2 σ 2
2
, k ∈ N.
(a) Es seien X1 , . . . , Xn i.i.d. Poisson verteilt, d. h.
Pθ [X = k] =
θk −θ
e , für θ > 0, k = 0, 1, 2, . . . .
k!
Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für θ.
(b) Es seien X1 , . . . , Xn i.i.d. exponential verteilt mit Dichte fλ (x) = λe−λx , x ≥ 0, und
Parameter λ > 0. Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für λ.
3. Die i.i.d. Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien exponential verteilt mit Parameter λ > 0. Es
bezeichne m den unbekannten Median. Für einen gegebenen Wert m0 betrachte man das
Testproblem H0 : m = m0 gegen H1 : m > m0 , sowie als Teststatistik
D :=
n
X
1{Xi − m0 > 0},
i=1
die Anzahl der Beobachtungen Xi größer als m0 . Bestimmen Sie die Verteilung von D.
Welche Beziehung besteht zwischen m und λ? Finden Sie geeignete Annahmebereiche
zum Niveau α = 0.1 bei n = 4 und n = 5.
4. Es bezeichnen X1 , X2 , . . . , Xn Ausfallzeiten von n gleichartigen Glühbirnen die zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet werden. Man betrachtet ein Modell von i.i.d. exponential verteilten Zufallsvariablen mit Lebesgue-Dichten fθ (x) := θ−1 exp (−x/θ) , x ≥ 0, θ > 0.
Die geordneten Ausfallzeiten sind X(1) < X(2) < . . . < X(n) . Das Experiment wird nach
dem Ausfall von r ≤ n Glühbirnen beendet. Zeigen Sie, dass
Zi := (n + 1 − i)(X(i) − X(i−1) ), 1 ≤ i ≤ r,
1
2/2
unabhängig identisch verteilt sind mit Dichte fθ . Verwenden Sie, dass dann 2Zi /θ χ22 verteilt sind mit 2 Freiheitsgraden und diese Verteilung monotonen Likelihoodquotienten
aufweist. Konstruieren Sie einen gleichmäßig besten Test für H0 : θ ≥ θ0 gegen H1 : θ <
θ0 zum Niveau α = 0.05 für r = 4.
Hinweis: Das 0, 05-Quantil der χ28 -Verteilung ist q0,05,χ28 ≈ 2.73.
5. Ein Prüfer für Kunstwerke hat sich um eine Stelle bei einem Auktionshaus beworben. Der
Personalchef des Auktionshauses plant, ihm n = 13 Paare von Kunstwerken und Imitaten vorzulegen. Jedes Paar enthält also je ein echtes Kunstwerk sowie eine Kopie. Er soll
angestellt werden, wenn er mindestens 11 Paare richtig identifiziert. Vom Standpunkt des
Auktionshauses wäre es ein schwerwiegender Fehler, einen unfähigen Mann einzustellen.
Daher möchte der Personalchef den Fehler erster Art scharf kontrollieren, während der
Fehler zweiter Art (Ablehung eines fähigen Mannes) weniger gravierend ist. Die Hypothesen lauten also:
H0 : Der Prüfer rät zufällig.
H1 : Der Prüfer besitzt Sachverstand.
(a) Bestimmen Sie bei diesem Vorgehen des Personalchefs den Fehler erster Art.
(b) Konstruieren Sie einen nicht-randomisierten Niveau-α-Test. Der Prüfer hat 9 Treffer.
Wird die Nullhypothese zum Niveau α = 0.05 abgelehnt?
(c) Konstruieren Sie einen Niveau-α-Test mit Randomisierung.
(d) Der Prüfer geht davon aus, eine Probe mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% richtig
zu identifizieren. Was ist in diesem Fall der Fehler zweiter Art bei Voraussetzungen
wie in b)?
Hinweis: Sei F die Verteilungsfunktion einer Bin(n = 13, p = 1/2)-Verteilung, dann ist
F (9) ≈ 0, 954, F (10) ≈ 0, 989.
6. Es seien X1 , . . . , Xn i.i.d. uniform verteilt auf dem Intervall (θ − 1/2, θ + 1/2) mit unbekanntem Parameter θ ∈ R. Es bezeichne X(1) < X(2) < . . . < X(n) die Ordnungsstatistik.
Man betrachte das Schätzproblem θ zu schätzen bei quadratischem Verlust und mit einer
a-priori-Verteilung θ ∼ U (−T, T ), uniform verteilt auf dem Intervall (−T, T ) mit T > 0
bekannt. Zeigen Sie, dass der Bayes-Schätzer θ̂T durch
θ̂T =
1
max − T, X(n) − 1/2 + min T, X(1) + 1/2
2
gegeben ist.
Folgern Sie für θ̂ := (X(1) + X(n) )/2 aus E[Z(1) ] = (n + 1)−1 und E[Z(n) ] = n(n + 1)−1
für Z1 , . . . , Zn eine mathematische Stichprobe einer uniformen Verteilung auf (0, 1), dass
das Risiko R(θ, θ̂) konstant in θ ist. Ist θ̂ minimax, wenn man voraussetzt, dass das BayesRisko für π = U (−T, T ) die Konvergenz Rπ (θ̂T ) → R(θ, θ̂) erfüllt?
Abgabe Dienstag 08.07.2014 vor der Vorlesung.
