7. ¨Ubungsblatt zur Statistik I - Ruhr

7. Übungsblatt zur Statistik I
Prof. Dr. Angelika Rohde, Tim Patschkowski SoSe 2015
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
Es seien (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) unabhängig identisch bivariat normalverteilt mit Erwartungswert
(µ1 , µ2 )T und Kovarianzmarianz Σ. Ein Schätzer für die Korrelation
ρXY = p
ist durch ρbXY
Cov(X1 , Y1 )
Var(X1 ) Var(Y1 )
p
2 σ
:= σ
bXY / σ
bY2 gegeben, wobei
bX
n
2
σ
bX
:=
1 X
(Xi − X̄n )2 ,
n − 1 i=1
n
σ
bY2 :=
1 X
(Yi − Ȳn )2
n − 1 i=1
die korrigierten empirischen Varianzen und
n
σ
bXY
1 X
:=
(Xi − X̄n )(Yi − Ȳn )
n − 1 i=1
die korrigierte empirische Kovarianz bezeichnet. Finden Sie eine differenzierbare Funktion g, die
nicht von ρXY abhängt, sodass
√
D
n g(b
ρXY ) − g(ρXY ) −→ N (0, 1)
und beweisen Sie dies.
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
Sei (Tn )n∈N eine konsistente Folge von Schätzern für den reellen Parameter ϑ, sodass eine Grenzverteilung Lϑ existiert mit
√
D
θ
n(Tn − ϑ) −→
Lϑ
für alle ϑ.
a) Zeigen Sie, dass der Schätzer Sn := Tn · 1{|Tn | ≥ n−1/4 } für ϑ 6= 0 dieselbe asymptotische
Verteilung wie Tn besitzt und dass im Falle ϑ = 0
D
rn (Sn − ϑ) −→ 0
für eine beliebige reelle Folge (rn )n∈N gilt.
i.i.d.
b) Es seien nun X1 , . . . , Xn ∼ N (ϑ, 1) und Tn = X̄n der Maximum-Likelihood Schätzer
für ϑ. Zeigen Sie, dass {ϑ 7→ n · MSEϑ (Sn )} nicht gleichmäßig beschränkt in n ist.
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Aufgabe 3.
(4 Punkte)
a) Sei (Xn )n∈N eine Folge von reellen Zufallsvariablen mit Dichten fn , und X habe Dichte
f . Geben Sie eine hinreichende Bedingung für die Aussage
(∗)
fn −→ f fast überall
⇒
D
Xn −→ X
an.
b) Betrachten Sie die Folge (Xn )n∈N von Zufallsvariablen mit Dichten
fn (x) = (1 + cos(2πnx))1{x ∈ [0, 1]}.
Bestimmen Sie die Dichte f von X und zeigen Sie, dass die Umkehrung von (∗) nicht
gilt.
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch mit Dichte fϑ (x) = ϑ(ϑ + 1)x
ϑ−1
(1 − x)1{x ∈ [0, 1]},
ϑ > 0, verteilt.
a) Zeigen Sie, dass der mit Hilfe der Momentenmethode bestimmte Schätzer für ϑ durch
Tn (X1 , . . . , Xn ) =
2X̄n
1 − X̄n
gegeben ist.
b) Wie ist Tn asymptotisch für große Stichprobenumfänge verteilt?
c) Ist Tn asymptotisch effizient?
Abgabetermin: Montag, 08. Juni 2015 vor Beginn der Vorlesung.
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