2. Aufgabenblatt - Humboldt

Markus Bibinger, Mathias Trabs
Mathematische Statistik
Sommersemester 2014
Humboldt-Universität zu Berlin
2. Aufgabenblatt
1. Formulieren und beweisen Sie den Satz von Gauß-Markov für das lineare Modell mit allgemeiner symmetrischer und positiv definiter Kovarianzmatrix Σ > 0.
2. Man betrachte folgendes Regressionsmodell:
Yi = α0 + α1 cos ti + β1 sin ti + i , i = 1, . . . , n,
mit t1 = . . . = tn1 = π, tn1 +1 = . . . = tn2 = π2 , tn2 +1 = . . . = tn = 0, n1 < n2 < n, und
iid
Messfehlern 1 , . . . , n ∼ N (0, σ 2 ).
(a) Geben Sie die zugehörige Designmatrix X an.
(b) Leiten Sie Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Parameter α0 , α1 , β1 her.
(c) Konstruieren Sie einen Test für die Hypothese H0 : α1 = 0 gegen H1 : α1 6= 0.
3. Die Zufallsvariable X sei Poisson-verteilt mit unbekanntem Parameter λ > 0 und Y sei
Binomial-verteilt mit Parametern p ∈ (0, 1), n ∈ N.
(a) Geben Sie erwartungstreue Schätzer für λ und P(X = 0) an.

(b) Zeigen Sie, dass jeder erwartungstreue Schätzer für P(X = 0)

3
3
unsinnige Werte
liefert. P(X = 0) ist die Wahrscheinlichkeit dass drei unabhänige Zufallsvaria
blen X1 , X2 , X3 ∼ X gleichzeitig den Wert 0 annehmen.
(c) Zeigen Sie, dass jedes Polynom f (p) n-ter Ordnung erwartungstreu geschätzt werden
kann.
4. [R-empfohlen] Zwecks einer Marketing-Analyse will eine Firma untersuchen ob sich zwei
Produkte in verschiedenen Ländern unterschiedlich gut umsetzen lassen. Nachfolgend sind
Umsätze der Produkte in 1000 Euro pro Woche für fünf Wochen angegeben, getrennt nach
Ländern. Man kann annähernd von unabhängigen Beobachtungen in den einzelnen Wochen ausgehen.
1
Land 2
3
21
18
16
Produkt 1
23 21 20
18 18 17
16 15 17
1
21
17
16
19
19
18
Produkt 2
29 18 21
20 18 18
17 18 16
19
18
17
Aufgabenblatt 2, 2/2
Stellen Sie die Mittelwerte grafisch dar. Führen Sie eine Varianzanalyse auf Haupteffekte
und Interaktion durch. Testen Sie insbesondere auch unter Normalverteilungsannahme die
Hypothese keinerlei Einflüsse und jeden Faktor einzeln.
Abgabe Dienstag 06.05.2014 vor der Vorlesung.