Hausaufgabe 3
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Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, Dr. M. Tautenhahn
Statistik, WS 12/13
Hausaufgabe 3
Abgabe am 19.11.2013 in der Vorlesung
Aufgabe 1 (Maximum-Likelihood – Exponentialverteilung). Wir betrachten die Lebensdauer eines technischen Produktes. Es werde angenommen, dass die Lebensdauer
eines Gerätes exponentialverteilt ist mit unbekannten Parameter ϑ > 0, unabhängig für
alle Geräte. Es werden n Geräte untersucht.
(a) Berechnen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für ϑ.
(b) Berechnen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für die Wahrscheinlichkeit, dass
ein Gerät vor Ablauf der Garantiefrist t defekt wird.
Aufgabe 2 (Maximum-Likelihood – Poissonverteilung). Für ein n ∈ N sind (Xi )i∈{1,...,n}
unabhängige Zufallsvariablen, die jeweils Poissonverteilt mit (unbekanntem) Parameter
λ sind. Berechnen Sie für gegebene Beobachtungswerte (xi )i∈{1,...,n} einen MaximumLikelihood-Schätzer Tn für λ.
(a) Ist dieser Schätzer der einzige Maximum-Likelihood-Schätzer für λ?
(b) Ist Tn erwartungstreu?
(c) Ist Tn konsistent?
Aufgabe 3 (Beste Schätzer bei Normalverteilung). (a) Schätzung des Erwartungswertes. Sei σ > 0 und {Nϑ,σ : ϑ ∈ R} eine Familie von Normalverteilungen (mit fester
Varianz). Bildet diese Familie eine exponentielle Familie? Geben Sie einen besten
Schätzer für ϑ an! Geben Sie die quadratische Abweichung vom Mittelwert dieses
Schätzers an!
(b) Sei nun der Mittelwert m ∈ R fixiert. Wir betrachten die Familie {Nm,ϑ , ϑ : ϑ >
0}} von Normalverteilung. Bildet diese Familie eine exponentielle Familie? Geben
Sie einen besten Schätzer für ϑ an! Geben Sie die quadratische Abweichung vom
Mittelwert dieses Schätzers an!
Aufgabe 4 (Gütekriterien sind nicht immer gut). Ein Zufallsexperiment wird so oft
unabhängig voneinander durchgeführt, bis zum erstenmal ein bestimmtes Ereignis A
eintritt; die Wahrscheinlichkeit P(A) = p ∈ (0, 1) ist unbekannt. Die Zufallsvariable
Z =“Anzahl der erforderliche Versuche” (mit Werten 1, 2, 3, . . .) enthält alle Information
über p.
(a) Bestimmen Sie einen erwartungstreuen Schätzer für p.
(b) Ist der unter (a) gefundene Schätzer der einzige erwartungstreue Schätzer für p?
Oder gibt es weitere erwartungstreue Schätzer?
(c) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für p. Ist dieser erwartungstreu?
Zusatzaufgabe (Schätzung der Zusammensetzung einer Urne). Eine Urne enthalte eine
gewisse Anzahl gleichartiger Kugeln in verschiedenen Farben, und zwar sei E die endliche
Menge der verschiedenen Farben. Es werde n mal mit zurücklegen gezogen. Es soll
(simultan für alle Farben a ∈ E) der Anteil der Kugeln der Farbe a geschätzt werden.
Geben Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer an! Ist dieser eindeutig?
