Statistik II für VWL

Statistik II für VWL - SS 2006
Beispielsammlung
1. Eine Urne enthält 10 Geldstücke. Sie kann zwei unterschiedliche Zusammensetzungen aufweisen
Zustand I
Zustand II
3 mal 1 EURO und 7 mal 2 EURO
6 mal 1 EURO und 4 mal 2 EURO
Von Interesse ist der Gesamtbetrag θ des Geldes in der Urne. Der Zustand der Urne und damit auch der
Wert von θ seien unbekannt. Um θ zu schätzen, entnehmen wir der Urne zwei Geldstücke mit Zurücklegen.
(a) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Stichproben in Abhängigkeit von den Werten von
θ in einer Tabelle zusammen.
(b) Geben Sie die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für θ an.
(c) Was gibt diese Likelihoodfunktion an?
(d) Bei einer Ziehung werden zwei 1 EURO Stücke gezogen. Wie lautet der M-L Schätzwert für θ ?
(e) Ist der M-L Schätzer für θ erwartungstreu ?
2. Betrachten Sie folgende Zufallsstichprobe bestehend aus den acht Werten 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0. Die Stichprobe
gehört zu einer Grundgesamtheit, die folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt
pX (k, θ) = θk (1 − θ)1−k ,
k = 0, 1;
0<θ<1
Finden Sie den M-L Schätzwert für θ.
3. In einer Schachtel befinden sich 5 Kugeln, die entweder weiß oder rot sind. Die Anzahl θ der roten Kugeln
ist unbekannt (θ=0, 1, 2, 3, 4 oder 5). Ein Statistiker zieht mit Zurucklegen 3 Kugeln aus der Urne und
erhält folgendes Ergebnis
rot weiß rot
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses, wenn θ = 2 ist?
(b) Wie lautet die Likelihoodfunktion für θ aufgrund dieses Ergebnisses?
(c) Was gibt diese Likelihoodfunktion an?
(d) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert für θ.
4. Betrachten Sie die Exponentialverteilung
fY (y, λ) = λe−λy
und berechnen Sie den M-L Schätzwert gegeben
(a) die Zufallsstichprobe Y1 = 8.2, Y2 = 9.1, Y3 = 10.6, Y4 = 4.9
(b) eine beliebige Stichprobe Y1 , . . . , Yn
5. Eine Stichprobe der Größe n wird aus folgendem Wahrscheinlichkeitsmodell gezogen
2
pX (k, θ) =
θ2k e−θ
,
k!
Bestimmen Sie eine Formel für den M-L Schätzer θ̂.
k ∈ N0
6. Angenommen Y ist eine Zufallsvariable, die das Einkommen eines Individuums in einer Volkswirtschaft
beschreibt. Sei weiters angenommen, dass Y Pareto verteilt ist, also
P(Y ≥ y) =
θ
θ
k
k
und somit F (y) = 1 −
y
y
gilt, wobei k die Höhe des minimalen Einkommens ist. Hieraus folgt durch Differenzieren
θ+1
1
,
fY (y, θ) = θk
y
θ
y ≥ k;
θ≥1
Finden Sie den M-L Schätzer für θ, falls k bekannt ist und Ihnen die Einkommensdaten von 25 Individuuen
vorliegen.
7. (a) Use the method of maximum likelihood to estimate the parameter θ in the uniform pdf
fY (y, θ) =
1
,
θ
0≤y≤θ
based on a random sample of size n. Evaluate the obtained formula for the sample Y1 = 6.3, Y2 =
1.8, Y3 = 14.2 and Y4 = 7.6.
(b) Given a random sample of size n from a two-parameter uniform pdf
fY (y; θ1 , θ2 ) =
1
,
θ2 − θ1
θ 1 ≤ y ≤ θ2
Find the maximum likelihood estimates for θ1 and θ2 .
8. The exponential pdf is a measure of lifetimes of devices that do not age. However, the exponential pdf is a
special case of the Weibull distribution, which measures time to failure of devices where the probability of
β
failure increase as time does. A Weibull random variable Y has pdf fy (y; α, β) = αβy β−1 e−αy , 0 ≤ y, 0 <
α, 0 < β
(a) Find the maximum likelihood estimator for α assuming that β is known.
(b) Suppose α and β are both unknown. Write down the equations that would be solved simultaneously
to find the maximum likelihood estimators of α and β.
9. Suppose a random sample of size n is drawn from a normal pdf where the mean µ is known but the variance
σ 2 is unknown. Use the method of maximum likelihood to find a formula for σ̂ 2 .
10. Betrachten Sie die Gleichverteilung auf dem Intervall [0, θ] (siehe Beispiel 7). Finden Sie den Schätzer für
θ mit der Methode der Momente und vergleichen Sie das Resultat mit dem Resultat aus Beispiel 7.
11. Schätzen Sie mit der Methode der Momente den Parameter λ der Exponentialverteilung (siehe Beispiel 4).
12. Schätzen Sie mit der Methode der Momente die Parameter µ, σ einer Normalverteilung. Vergleichen Sie
die Resultate mit denen aus Beispiel 9.
13. Ein Kriminologe durchsucht eine Fingerabdrucksdatenbank nach seltenen doppelt gewundenen Fingerabdrücken. Er durchsucht hierbei 6 mal 100000 Fingerabdrücke und findet 3,0,3,4,2 and 1 Exemplare des
gesuchten Musters in den entsprechenen Datensets. Nehmen Sie an, dass doppelt gewundene Fingerabdrücke Poissonverteilt sind und benutzen Sie die Momentmethode um den Parameter λ zu schätzen. Wie
würde sich Ihre Antworkt ändern, wenn Sie einen M-L Schätzer verwenden würden. Hinweis: Die Dichte
der Poissonverteilung ist
e−λ λk
f (x, λ) =
,
k ∈ N0 ,
λ>0
k!
14. Das Gewicht einer Bevölkerung sei N(72, 10) verteilt.Wie groß muss der Stichprobenumfang gewählt werden, damit das mittlere Gewicht der Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von
(a)
0.9
(b)
0.95
(c)
0.99
mehr als 70 kg beträgt?
15. Eine Versicherung möchte herausfinden, wie viele der 150.000 Einwohner einer Stadt prinzipiell an einer
privaten Pensionsvorsorge interessiert wären. Bei einer Befragung von 800 zufällig ausgewählten Bewohnern
gaben 220 an, an einer Vorsorge interessiert zu sein. Ermitteln Sie ein 99% Konfidenzintervall für die Anzahl
der tatsächlich interessierten Personen.
16. Ein Meinungsforscher publiziert vor einer Volksabstimmung das Ergebnis einer Studie, wonach in einer
repräsentativen Stichprobe 52% der Befragten angaben, mit ’Ja’ zu stimmen.
(a) Was können Sie mit dieser Angabe prognostizieren ?
(b) Was können Sie über die Zustimmungsrate der Gesamtbevölkerung aussagen, wenn die Stichprobengröße n=10, n=100, n=500, n=2000, n=100000 betragen hat.
17. The results of IQ tests are known to be normally distributed. Suppose that in 2002, the distribution of IQ
test scores for persons aged 18-35 years has a variance σ 2 = 225. A random sample of 9 persons take the
IQ test. The sample mean score is 115.
(a) Calculate the 50%, 75%, 90% and 95% confidence interval estimates of the unknown population mean
IQ score.
(b) What trade-offs are involved in reporting one interval estimate over another?
(c) If it is known that the population mean IQ score is µ = 105, what proportion of samples of size 6 will
result in sample mean values in the interval [135,150]?
18. Sie beobachten folgende realisierten Gewinne in einer Fernseh-Quizzshow (in Tausend Euro)
73
34
17
96
33
189
282
33
66
64
Es wird davon ausgegangen, dass die Gesamtgewinne normalverteilt sind. Bestimmen Sie für den unbekannten Parameter µ dieser Normalverteilung ein Konfidenzintervall, das µ mit der Wahrscheinlichkeit 0.95
überdeckt.
19. Um den Bedarf an Autobahnmautvignetten zu planen, soll der Anteil der Autobesitzer, die ein Pickerl
kaufen wollen anhand einer (repräsenativen) Stichprobe von Autofahrern geschätzt werden. Wieviele Personen müssen mindestens befragt werden, damit ein 95% Konfidenzintervall für den gesuchten Anteil eine
Länge von höchstens 0.02 aufweist?
20. Das Gewicht X des Brotes sei N (1, .3)-Verteilt. Um das mittlere Gewicht µ zu bestimmten, werden 20
Brote gewogen.
(a) Wie ist das durchschnittliche Gewicht X̄ dieser Stichprobe verteilt ?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das Durchschnittsgewicht zwischen 0.99 kg und 1.10 kg ?
(c) Um welchen Wert a weicht das Durchschnittsgewicht X̄ der Stichprobe vom Mittelwert µ höchstens
mit Wahrscheinlichkeit 0.05 ab ?
21. Gegeben seien 3 Konfidenzintervalle für µ berechnet aus dem gleichen Datensatz unter der Annahme einer
Normalverteilung mit bekanntem σ 2 = 4. Das erste Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 − α = 0.95
hat die Länge l1 , das zweite zum Konfidenzniveau 1 − α = 0.9 hat die Länge l2 und das dritte zum
Konfidenzniveau 1 − α = 0.99 hat die Länge l3 . Ordnen Sie die drei Konfidenzintervalle nach ihrer Länge.
Beginnen Sie mit dem kürzesten.
22. Es soll untersucht werden, ob die Bevölkerung aus betroffenen Gebieten eine negativere Einstellung zu
wild lebendnen Bären aufweist als die Bevölkderung von Wien. Hiefür wurde ein Einstellungsfragebogen
verwendet, dessen Testscore als normalverteilt angenommen werden darf. Hohe Werte stehen dabei für
positive Einstellung.
Stadtbevölkerung
betroffene Bevölkerung
25
23
23
20
23
25
30
27
26
21
28
19
24
24
29
24
21
22
Nehmen Sie für die Auswertung gleiche Varianzen in den beiden Gruppen an.
30
28
25
25
23
28
30
21
23. Der Gehalt an Calcium eines Mineralwassers (in mg/l) wird an 6 verschiedenen Tagen ermittelt: 840 680
920 1000 750 850. Der Produzent behauptet, dass das Mineralwasser einen mittleren Calciumgehalt von
1000 mg/l hat. Testen Sie diese Hypothese zum Niveau a=0.05.
(a) wenn die Varianz nicht bekannt ist.
(b) wenn die Standardabweichung 200 mg/l beträgt.
24. Die Juni-Durchschnittstemperatur liegt bei 22.2 Grad mit einer Standardabweichung von 2 Grad. In den
letzten 5 Jahren betrug die Durchschnittstemperatur im Juni: 2001: 23.5 2002: 22.3 2003: 23.2 2004: 24.3
2005: 25.4
(a) Hat sich die Juni-Temperatur in den letzten 5 Jahren verändert ? (α = 0.05)
(b) Wurde es in den letzten 5 Jahren signifikant wärmer ? (α = 0.05).
(c) Angenommen, die Varianz der Juni-Temperaturen wäre nicht bekannt, wurde es dann signifikant
wärmer in den letzten 5 Jahren (α = 0.05).
25. Von 1000 Personen einer Versuchsgruppe, die täglich 400mg Selen einnahmen, erkrankten im Zeitraum von
10 Jahren 125 Personen an Krebs. In der aus 800 Personen bestehenden Kontrollgruppe, die kein Selen
(sondern ein Placebo) verabreicht bekam, erkrankten 210 Personen an Krebs.
(a) Berechnen Sie ein 95% Konfidenzintervall für die Reduktion des Krebsrisikos durch die Einnahme von
Selen.
(b) Genauere Informationen über die Studie ergaben, dass alle Testpersonen in einem Gebiet mit extrem
geringen Selengehalt im Boden wohnten. Die Nahrung enthielt daher sehr wenig Selen. Wie beurteilen
Sie im Lichte dieser Information das Konfidenzintervall in (a) ?
26. Zwei Unterrichtsmethoden wurden verglichen. Bei Methode A erreichten 25 Studenten beim darauffolgenden Test eine mittelere Punktzahl von x̄A = 82, wobei die Standardabweichung sA = 6.5 betrug. Bei
Unterrichtsmethode B ergab sich mit 27 Studenten ein durchschnittliches Ergebnis von x̄B = 77, sowie
sB = 6.7. Berchnen Sie unter der Annahme gleicher Varianzen ein 95% Konfidenzintervall für den Unterschied in der Effizienz der beiden Methoden.
27. Vor der Einführung der abschreckenden Zigarettenpackungen gaben von 600 Befragten 220 an zu rauchen.
Nach der Einführung wurde wieder befragt und es gaben 80 von 300 Befragten an zu rauchen. Berechnen
Sie Konfidenzintervalle für den Anteil der Raucher für beide Befragungen und für die Differenz der Anteile.
28. Zeigen Sie, dass
n
1X
(Xi − µ)2
n i=1
ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz ist, falls der Erwartungswert µ nicht aus den Daten Xi
geschätzt werden muss, sondern bekannt ist.
29. Für den Erwartungswert µ einer Zufallsvariablen werden folgende Schätzfunktionen vorgeschlagen.
T1 = X̄, T2 = Xn , T3 =
n
n
X1 + Xn
1 X
1 X
, T4 =
Xi , T 5 = 2
Xi
2
n − 1 i=1
n i=1
Dabei werde angenommen, dass X1 , ..., Xn unabhängig sind. Außerdem soll gelten E(Xi ) = µ und V ar(Xi ) =
σ 2 für i = 1, . . . , n.
(a) Welche der Schätzfunktionen sind erwartungstreu ?
(b) Welche der erwartungstreuen Schätzfunktionen hat die kleinste Varianz ?
30. Gegeben seien zwei unabhängige Schätzer T1 , T2 für einen unbekannten statistischen Parameter θ. Für
die Schätzfunktionen gilt: E(T1 ) = 3θ, V ar(T1 ) = 1 und E(T2 ) = 2θ, V ar(T2 ) = 9. Betrachten Sie
Linearkombinationen T = a1 T1 + a2 T2 der beiden Schätzer.
(a) Welche Bedingungen müssen die ai erfüllen, so dass T ein erwartungstreuer Schätzer für θ ist.
(b) Bestimmen Sie ai , so dass T varianzminimal und erwartungstreu ist.
31. Eine Stichprobe der Größe 2 wird aus folgender Verteilung gezogen
fY (y; θ) = 2yθ2 ,
0<y<
1
θ
Für welchen Wert c ist c(Y1 + 2Y2 ) ein unverzerrter (erwartungstreuer) Schätzer für
1
θ
?
32. Suppose that W1 is random variable with mean µ and variance σ12 and W2 has the same mean and variance
σ22 .
(a) Show that cW1 + (1 − c)W2 is an unbiased estimator for µ (for all c).
(b) Find the c such that the estimator in (a) is most efficient if W1 and W2 are independent.
33. Let X1 . . . Xn be a random sample of size n from the Poisson distribution, pX (x, λ) =
Pn
Show that λ̂ = n1 i=1 Xi is an efficient estimator for λ.
e−λ λx
x! ,
x = 0, 1, . . ..
34. Nachstehende Tabelle enthält das Gewicht von Personen, die an einem Trainingsprogram zur Gewichtsreduktion teilgenommen haben, vor und nach Absolvierung des Programmes.
vorher
nachher
75
70
66
67
80
73
Gewicht in kg
85 90 87 73
80 88 89 71
75
70
81
79
81
76
Erstellen Sie ein 95% Konfidenzintervall für die Differenz der Gewichte.
35. Sei X1 , X2 . . . Xn eine Zufallsstichprobe aus einer Bernoulli Verteilung mit Parameter θ. Zeigen Sie, dass
T (X) = X1 + ... + Xn ein suffizienter Schätzer für θ ist.
36. Gegeben sei eine Zufallsstichprobe (x1 , . . . , xn ), wobei die Xi der Verteilung mit der Dichte
fX (x, θ) = θe−(θ+1)log(1+x)
gehorchen. Ist der Schätzer θ̂ =
Pn
i=1
log(1 + xi ) suffizient ?
37. Given a random sample of size n from the gamma distribution with α unknown and β known
β α α−1
x
exp (−βx)
Γ(α)
Pn
where Γ is the gamma function. Show that T = i=1 log(xi ) is a sufficient statistic for α.
Hint: Use that
!
n
n
Y
X
(α−1)
xi
= exp (α − 1)
log(xi )
fX (x) =
i=1
i=1
38. Gegeben sei eine Zufallsstichprobe (Y1 , . . . , Yn ) aus einer Gleichvertelung auf [0, θ] (siehe Beispiel 7) mit
der Dichte
1
fY (y, θ) = 1[0,θ] (y)
θ
wobei
1, wenn y ∈ [a, b]
1[a,b] (y) =
0, sonst
Der Momentenschätzer für θ ist durch
θ̂1 =
X
n
2
Yi
n i=1
gegeben. Der Maximum Likelihood Schätzer ist θ̂2 = Ymax = max1≤i≤n Yi .
(a) Zeigen Sie, dass
L(θ) =
(b) Zeigen Sie, dass θ̂1 nicht suffizient ist.
1
1[0,θ] (Ymax )
θn
(c) Zeigen Sie, dass θ̂2 suffizient ist.
Tipp: Benutzen Sie den Faktorisierungssatz aus der Vorlesung.
39. Gegeben sei eine Zufallsstichprobe (Y1 , . . . , Yn ) aus einer Normalverteilung mit µ = 0. Zeigen Sie, dass
n
Sn2
1X 2
=
Y
n i=1 i
ein konsistenter Schätzer für σ 2 ist. Hinweis: Ist Xi ∼ N (µ, σ 2 ), dann gilt
Y =
2
n X
Xi − µ
σ
i=1
∼ χ2n
mit V ar(Y ) = 2n.
40. Gegeben sei eine Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn wobei xi aus einer Exponentialverteilung mit Parameter 2i λ
(λ > 0)gezogen wird. Die Ziehungen seien unabhängig von einander.
(a) Geben Sie eine Formel für die gemeinsame Dichte der (X1 , . . . , Xn ) an.
(b) Geben Sie den MLE-Schätzer für λ an.
(c) Wo verwenden Sie die Unabhängigkeit der Xi ?
Tipp: Die Dichte der Exponentialverteilung mit Parameter λ ist f (y) = λe−λy
41. Angenommen, dass Konfidenzintervall des Stichprobenmittels für ein normal verteiltes X mit Varianz σ 2
ist [0, 4]. Wie sieht das Konfidenzintervall für die Zufallsvariable Y = aX + b (a, b ∈ R, a 6= 0) aus ?
42. Betrachten Sie die 2 Parameter Gleichverteilung mit folgender Dichte
fX (x; α1 , α2 ) =
1
,
2α2
α1 − α2 ≤ y ≤ α1 + α2 , α2 > 0
Gegeben eine Zufallsstichprobe x1 , . . . , xn , schätzen Sie die beiden Parameter mittels der Momentenmethode.
43. Ein Politiker behauptet, dass 60% der Bevölkerung eines Landes eine Verschlechterung der Konjunktur
erwartet. In einer Umfrage unter 500 Personen gaben allerdings nur 220 Personen an, mit einer Konjunkturverschlechterung zu rechnen. Glauben Sie der Aussage des Politikers ? Testen Sie zum Niveau α = 0.01.
44. Eine Fahrschule behauptet, dass 80% der Führerschein beim ersten Versuch schaffen. Im vergangenen Jahr
schafften 450 von 600 Fahrschülern den Führerschein sofort. Testen Sie, ob die Aussage der Fahrschule
zutrifft (α = 0.05).
45. Um einen Test durchzuführen, wirft ein fauler Statistiker vier faire Münzen und entscheidet sich für die
Gegenhypothese, wenn bei allen Münzen Kopf erscheint. In allen anderen Fällen entscheidet er sich für die
Hypothese. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art an.
46. Testen Sie auf einem Signifikanzniveau von α = 5%, ob das in Beispiel 34 beschriebene Trainingsprogramm
tatsächlich zu einem Gewichtsverlust geführt hat.
47. Finden Sie den p-Wert in Beispiel 24 (Punkt (a) und (b)) und testen die jeweiligen Hypothesen unter
Verwendung des gefundenen Wertes.
48. Finden Sie den p-Wert in Beispiel 44 und testen die jeweiligen Hypothesen unter Verwendung des gefundenen Wertes.
49. Unter 100 befragten LeserInnen einer Zeitschrift mögen 25 eine bestimmte Politikerin. Unter 120 LeserInnen
eines Konkurrenzblattes mögen 22 die betreffende Politikerin. Testen zum Niveau α = 0.05, ob sich die
Einschätzung der Politikerin in den Lesergruppen beider Zeitungen unterscheidet.
50. In einer repräsentativen Umfrage für ein Land wurde das monatliche Einkommen von 240 Männern und 160
Frauen erhoben. Das durchschnittliche Einkommen der Männer lag in der Stichprobe bei 1650 EUR, jenes
der Frauen bei 1280 EUR. Die Standardabweichung des Einkommen betrug 270 EUR bei den Männern
und 480 EUR bei den Frauen.
(a) Testen Sie, ob ein Einkommensunterschied zwischen Männern und Frauen besteht.
(b) Führen Sie eine Test auf Varianzhomogenität durch.
(c) Diskutieren Sie inhaltlich, inwieweit für diese Fragestellung ein Test auf einen Mittelwertsunterschied
sinnvoll ist.
51. (a) Wie wirken sich Lineartransformationen auf den F-Test aus ? (Lineartransformation: l(x) = a + bx
mit a, b ∈ R)
(b) Wie wirken sich Lineartransformationen auf den t-Test für unabhängige Stichproben (und homogene
Varianzen) aus?
52. In einer Grundgesamtheit sei ein Merkmal normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ und bekannter Varianz σ 2 = 2500. Es soll die Hypothese H0 : µ = 100 gegen HA : µ 6= 100 getestet werden, wobei der
Umfang der Stichprobe bei n = 100 liegt.
(a) Bestimmen Sie den Annahmebereich für H0 (α = 0.05).
(b) Berechnen Sie den Fehler 2. Art (β) unter der Annahme, dass der unbekannte Erwartungwert µ gleich
(i) 105, (ii) 110 und (iii) 115 sei.
(c) Erstelllen Sie eine Skizze der Gütefunktion (Macht) des Tests.
53. Gegeben sei eine normalverteilte Grundgesamtheit mit σ = 4. Getestet werden soll die Hypothese H0 : µ =
10 gegen H1 : µ 6= 10 (α = 0.05). Genügt eine Zufallsstichprobe der Größe n = 45, um den Fehler zweiter
Art unter 0.2 zu halten, wenn µ = 12 ?
54. Zur Untersuchung der Variabilität der Stärke (in t/cm2 ) von zwei Typen von Stahlseilen (Typ 1, Typ
2) ergaben sich folgende Werte n1 = 10, s21 = 19.2, n2 = 16, s22 = 3.5. Weist der Unterschied in den
Standardabweichungen auf eine höhere Variabilität des Typen 1 hin ? (α = .01).
55. In einem Betrieb verteilen sich die Krankenstände der letzten sechs Monate folgendermaßen auf die Wochentage
Anzahl
Mo
125
Di
111
Mi
98
Do
104
Fr
112
Testen Sie zum Niveau α = 0.05, ob die Krankenstände über die Wochentage gleichverteilt sind.
56. Der Soziologe Max Weber führt in dem Aufsatz ”Zur Psychophysik der industriellen Arbeit” folgende
Verteilung der Arbeitsunfälle männlicher Arbeiter in Kopenhagen 1898-1907 dar
Wochentag
Anzahl
Mo
50
Di
46
Mi
34
Do
34
Fr
33
Sa
43
(a) Die hohe Frequenzen am Samstag und Montag hält Weber für eine Folge des Alkohols (Freitag ist
Löhnungstag) bzw. für eine Folge größerer gesundheitlicher Strapazen am Wochenende. Testen Sie
auf eine Gleichverteilung (α = 0.01).
(b) Vorausgesetzt, die Stichprobe wäre 10-mal so groß wie oben und die Verteilung sehe wie folgt aus:
Wochentag
Anzahl
Mo
500
Di
460
Mi
340
Do
340
Fr
330
Sa
430
Testen Sie wie unter (a).
(c) Vergleichen Sie die gefundenen Ergebnisse miteinander und kommentieren Sie diese.
57. Hundert ungeordnete Stichproben der Größe 2 werden ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 6 roten und 4
weißen Bällen gezogen. Die Ergebnisse sind wie folgt
weiße Kugeln
Stichproben
0
35
1
55
2
10
Führen Sie einen Verteilungsanpassungstest für die Hypergeometrische Verteilung durch (α = 0.1).
Hinweis: Die Dichte der Hypergeometrischen Verteilung findet sich zB unter http://de.wikipedia.org/
wiki/Hypergeometrische Verteilung
58. Testen Sie mittels eines Verteilungsanpassungstests auf einem Niveau von α = 0.05, ob folgende Daten aus
einer Exponentialverteilung stammen.
k
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-8
Beobachtungen
130
41
25
8
2
3
1
1
59. Überprüfen Sie, ob die nachfolgende empirische Verteilung einer Standardnormalverteilung entspricht.
Intervall
Häufigkeit
(-1,-1)
93
(-1,-0.5)
96
(-0.5, 0)
115
(0, 0.5)
107
(0.5, 1)
88
(1,1)
101
60. Eine empirische Untersuchung über die Gefährdung von Rauchern durch Lungenkrebs ergab folgende Werte:
Raucher
Nichtraucher
Todesursache
Lungenkrebs andere
110
1275
12
650
Besteht eine Abhängigkeit zwischen dem Rauchen und der Todesursache?
61. Eine neue Zeitschrift kommt auf den Markt. Es soll geprüft werden, ob Personen, die politisch interessiert
sind, eher dazu neigen die Zeitschift zu kaufen. Hierzu wurden in einer Umfrage folgende Daten erhoben.
Käufer
ja
nein
politisch interessiert
ja
nein
58
44
35
23
62. In zwei Ländern (A und B) wurde die Einstellung zur EU-Osterweiterung erhoben. Dabei ergab sich
folgendes Ergebenis (Anzahl der Personen)
Land
A
B
Einstellung zur Osterweiterung
positiv unentschieden negativ
24
20
31
85
45
60
Besteht in den Ländern ein signifikanter Unterschied hinsichtlich der Einstellung zur EU-Osterweiterung?