Einführung in die Statistik für WInf, LaB, CE, Inf BSc etc.

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. K. Ritter
B. Debrabant
T. Wagner
Dr. M. Doering
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
SS 2007
20./21.06.2007
Einführung in die Statistik
für WInf, LaB, CE, Inf BSc etc.
5. Übung
Gruppenübungen
Aufgabe G13
Sei (Yn )n∈N eine unabhängige, identisch verteilte Folge von Zufallsvariablen mit
P ({Y1 = −1}) = 1 − p
P ({Y1 = 1}) = p,
für ein festes p ∈ ]0, 1[. Wir betrachten die Folge (Sn )n∈N , wobei
Sn =
n
X
Yi ,
n ∈ N.
i=1
a) Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz von Sn .
b) Sei p = 1/2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das arithmetische Mittel Sn /n von seinem Erwartungswert um weniger als 0.1 abweicht (n = 20, 50, 100)?
Berechnen Sie die entsprechenden Werte auch für p = 1/4.
c) Formulieren Sie das schwache und das starke Gesetz der großen Zahlen in diesem
Zusammenhang.
d) Sei α ∈ ]0, 1[ gegeben. Bestimmen Sie für p = 3/4 eine Folge (cn )n∈N in ]0, ∞[ so, dass
lim P ({|Sn − n(2p − 1)| ≤ cn }) = α
n→∞
gilt. Verwenden Sie dabei den Zentralen Grenzwertsatz.
Aufgabe G14
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch U([0, 2ϑ])-verteilt, mit
ϑ > 0 unbekannt.
a) Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel gn (x) = xn eine erwartungstreue Schätzfunktion für γ(ϑ) = ϑ ist.
b) Berechnen Sie die Varianz und den Quadratmittel-Fehler der Schätzfunktion gn .
c) Ist die Folge (gn )n∈N stark konsistent für γ(ϑ) = ϑ?
d) Geben Sie eine stark konsistente Folge von erwartungstreuen Schätzfunktionen für
γ(ϑ) = ϑ2 /3 an.
Aufgabe G15
Vor einer Theaterkasse warten in einer Schlange 40 Personen, deren Bedienung im Mittel
jeweils 50 Sekunden dauert. Es wird angenommen, dass sich die Bedienungszeiten durch
unabhängige, identisch exponentialverteilte Zufallsvariablen beschreiben lassen. Berechnen
Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 40 Personen innerhalb von 35
Minuten bedient werden.
(bitte wenden)
Hausübungen
Abgabe bis 29. Juni, 12.00 Uhr
Briefkasten: S2 15 (Mathebau), 3. Obergeschoss, auf Uebungsgruppe achten
Aufgabe H25
Zeigen Sie, dass für eine mit Parameter λ > 0 Poisson-verteilte Zufallsvariable X gilt:
a) E(X) = λ,
b) Var(X) = λ,
Hinweis: Verwenden Sie k 2 = k(k − 1) + k.
Aufgabe H26
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch N (µ, σ 2 )-verteilt. Wir betrachten das arithmetische Mittel
n
1X
Xn =
Xi .
n i=1
a) Welche Verteilung besitzt X n ?
b) Berechnen Sie unter der Voraussetzung σ 2 = 16 die Wahrscheinlichkeit
P ({|X n − µ| ≤ })
für = 1 bzw. = 0.1 und n = 10, 100, 1000. Gegen welchen Wert konvergiert diese
Wahrscheinlichkeit mit wachsendem Stichprobenumfang n? Hängt der Grenzwert von
ab? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe H27
Eine Reißzwecke wird n-mal geworfen. Man interessiert sich dabei für die Wahrscheinlichkeit p des Ereignisses A : Die Reißzwecke bleibt auf der Seite liegen (d.h. die Spitze zeigt
”
nicht nach oben)“. Die Zufallsvariable Hn beschreibe die relative Häufigkeit des Ereignisses
A in n Würfen (n ∈ N).
a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von n und p den Erwartungswert und die Varianz der
Zufallsvariablen Hn .
b) Wie groß muss die Anzahl der Würfe mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass Hn von p um höchstens 0.01 abweicht, 95% übersteigt? Geben Sie eine
Antwort mit Hilfe
(i) der Ungleichung von Tschebyschev,
(ii) der Hoeffdingschen Ungleichung,
(iii) des Satzes von Moivre-Laplace.
Hinweis: Verwenden Sie die Ungleichung p(1 − p) ≤ 1/4 für p ∈ [0, 1].
Aufgabe H28
Für ein ϑ > 0 seien X1 , . . . , Xn unabhängige, identisch U(ϑ, 3ϑ)-verteilte Zufallsvariablen.
a) Bestimmen Sie den Bias und die Varianz der folgenden Schätzfunktion für γ(ϑ) = ϑ:
gn (x) = xn /2.
b) Ist die Folge (gn )n∈N stark konsistent?
c) Ist die Schätzfunktion
n
1 X 2
hn (x) = (gn (x)) = 2
xi
4n i=1
2
erwartungstreu für γ(ϑ) = ϑ2 ? Modifizieren Sie sie gegebenenfalls so, dass sich eine
erwartungstreue Schätzfunktion ergibt.
Aufgabe H29
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch verteilt wie X mit
1−ϑ
,
P ϑ ({X = 1}) = ϑ, P ϑ ({X = −1}) = P ϑ ({X = 0}) = P ϑ ({X = 2}) =
3
wobei 0 < ϑ < 1 der zu schätzende Parameter sei.
!
n
X
a) Ist die Schätzfunktion
1 3
xi − 1
gn (x) =
2 n i=1
erwartungstreu für γ(ϑ) = ϑ?
b) Betrachten Sie die Schätzfunktion
n
1X
1{1} (xi ),
hn (x) =
n i=1
also die relative Häufigkeit von Einsen in der Stichprobe. Ist diese Schätzfunktion
erwartungstreu für γ(ϑ) = ϑ?
c) Welche der beiden Schätzfunktionen würden Sie vorziehen?
d) Berechnen Sie für gn und hn jeweils den konkreten Schätzwert für γ(ϑ) = ϑ, falls
20 Wiederholungen des Zufallsexperiments 5 Nullen, 8 Einsen und 4 Zweien ergeben
haben.
Aufgabe H30
a) Zeigen Sie: Eine Folge (gn )n∈N von erwartungstreuen Schätzfunktionen bezüglich γ(ϑ) =
ϑ mit der Eigenschaft
lim Varϑ (gn (X)) = 0, ∀ϑ ∈ Θ
n→∞
ist schwach konsistent.
b) Um die Präzision einer Waage zu überprüfen, wird n-mal das Gewicht eines KilogrammPrototyps gemessen. Die entstehende Messreihe soll als Realisierung von unabhängigen, identisch N (0, ϑ)-verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn mit unbekannter Varianz
ϑ > 0 aufgefasst werden. Betrachten Sie die Schätzfunktion
n
1X 2
x
gn (x) =
n i=1 i
und prüfen Sie die zugehörige Folge (gn )n∈N auf schwache Konsistenz für γ(ϑ) = ϑ.
Hinweis: Berechnen Sie Eϑ (X14 ) mit Hilfe von partieller Integration.