8. ¨Ubung zur Mathematik II für Biologen

Dr. S. Wiesendorf
Sommersemester 2016
8. Übung zur Mathematik II für Biologen
(Abgabe der schriftlichen Aufgaben in der Übungsstunde am 13. bzw. 14. Juni)
Aufgabe 1. (10 Punkte, schriftlich) (Tschebyscheffsche Ungleichung)
Von allgemeinem Interesse ist die Frage mit welcher Wahrscheinlichkeit eine (stetige oder diskrete) Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert µX und der Varianz
2
einen Wert aus einem vorgegebenen, um den Mittelpunkt µX symmetrischen,
σX
Intervall der Länge 2c annimmt. Kennt man den Erwartungswert µX und die Vari2
anz σX
der Zufallsvariablen, so kann man die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der
sogenannten Tschebyscheffschen Ungleichung abschätzen. Diese besagt
P (µX − c < X < µX + c) > 1 −
2
σX
.
c2
Es sei nun die Dichtefunktion

x≤5

0,

1x − 5,
5≤x≤7
fX (x) = 3 2 3 16

− x+ 3 , 7≤x≤8


 3
0,
x≥8
gegeben, die das Gewicht (in g) einer Population eurasischer Zwergmäuse beschreibe.
(a) Welche Abschätzung ergibt sich mit der Tschebyscheffschen Ungleichung
für die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Maus der Gruppe
zwischen 17/3 g und 23/3 g wiegt?
Beantworten Sie diese Frage mithilfe der nachfolgenden Punkte.
2
(i) Bestimmen Sie den Erwartungswert µX und die Varianz σX
von X.
(ii) Bestimmen Sie ein c, so dass µX − c = 17/3 und µX + c = 23/3 ist.
(iii) Setzen Sie die gefunden Werte in die Tschebyscheffsche Ungleichung
ein, um die gesuchte Abschätzung zu erhalten.
(b) Überlegen Sie sich, wie gut die in (a) erhaltene Abschätzung ist, indem
Sie die exakte Wahrscheinlichkeit für den gesuchten Bereich berechnen und
diesen Wert mit der Abschätzung vergleichen.
Aufgabe 2. (10 Punkte, schriftlich) Die Verteilungsfunktion einer stetigen
Zufallsvariablen X sei gegeben durch

0,
x ≤ 5,



 1 x2 − 5 x + 25 ,
5 ≤ x ≤ 7,
F (x) = 6 1 2 3 16 6 61

x
+
x
−
,
7 ≤ x ≤ 8,
−

3
3

 3
1,
x ≥ 8.
(a) Skizzieren Sie den Graphen der Verteilungsfunktion.
(b) Tragen Sie auf der Skizze den Median sowie das 0.2- und das 0.7-Quantil
ein (ohne diese zuvor zu berechnen).
(c) Berechnen Sie den Median, das 0.2-Quantil und das 0.7-Quantil.
Aufgabe 3. (10 Punkte, schriftlich) Wie für Ereignisse, nennt man Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn : Ω → R unabhängig, falls
P ((X1 = x1 ) ∩ . . . ∩ (Xn = xn )) = P (X1 = x1 ) · . . . · P (Xn = xn )
für alle x1 , . . . , xn ∈ R gilt.
(a) Sind die Zufallsvariablen X und Y aus Aufgabe 2 vom 5. Übungsblatt
unabhängig?
(b) Es werde dreimal gewürfelt und Xk beschreibe die Augenzahl des k-ten
Wurfs. Sind dann X1 , X2 , X3 unabhängig? Zeigen Sie, dass die Summen
Y1 = X1 + X2 und Y2 = X2 + X3 zwar identisch verteilt, aber nicht unabhängig sind und dass Y1 und X3 unabhängig, aber nicht identisch verteilt
sind.
Aufgabe 4. (mündlich) In der Vorlesung wurden einige Eigenschaften des Erwartungswertes und der Varianz besprochen. Beweisen Sie analog dazu (mit den
Sätzen der Vorlesung) die folgenden Aussagen.
(a) Ist X ≡ c konstant, d.h. X(ω) = c für alle ω ∈ Ω, so ist E(X) = c.
(b) Für a, b ∈ R, ist E(aX + b) = aE(X) + b.
(c) Beweisen Sie erneut den Verschiebungssatz
V (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 .
Aufgabe 5. (mündlich) Beweisen Sie die folgenden Behauptungen mittels vollständiger Induktion.
Pn
(a) Es ist k=1 k = n(n+1)
für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1.
2
(b) Für reelle Zahlen x 6= 1 gilt die Partialsummenformel für die geometriPn
n+1
für alle n ∈ N. Folgern Sie hieraus, dass
sche Reihe k=0 xk = 1−x
1−x
P∞ k
1
k=0 x = 1−x , falls |x| < 1.