X = 1 Xi
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Beispiele für Stichprobenfunktionen
a) Stichprobenmittelwert (empirischer Erwartungswert)
X=
1
n
n
P
i=1
Xi
(1.5)
Wegen EX = EXi = EX ist X eine erwartungstreue Schätzung für den Erwartungswert EX der Grundgesamtheit X. Wegen dem starken Gesetz der
großen Zahlen (Satz W 6.4) ist P ( lim X = EX) = 1, d.h. mit n → ∞ kommt
n→∞
X der zu schätzenden Größe EX immer näher (sog. Konsistenz).
b) Stichprobenstreuung (empirische Streuung)
n
P
1
(Xi − X)2
S 2 = n−1
(1.6)
i=1
√
S 2 = S Stichprobenstandardabweichung
Ü.: Zeige ES 2 = V arX (d.h. S 2 ist erwartungstreue Schätzung für V arX)
S̃ 2 =
1
n
n
P
(Xi − EX)2
(1.7)
i=1
Stichprobenstreuung, falls EX bekannt
c) Funktionen der geordneten Stichprobe
X1 , . . . , Xn −→ X1∗ ≤ X2∗ ≤ · · · ≤ Xn∗
geordnete Stichprobe
X1∗ = min{X1 , . . . , Xn }
Stichprobenminimum
Xn∗ = max{X1 , . . . , Xn }
Stichprobenmaximum
Xn∗ − X1∗
X̃ =
Stichprobenspannweite
X ∗2n+1
2
1
(X ∗n
2
2
+ X ∗n +1 )
2
falls
n ungerade
falls
n gerade
(1.8)
(1.9)
Stichprobenmedian
(1.10)
d) Empirische Verteilungsfunktion
Sei mx die (zufällige) Anzahl der Xi , die kleiner als x ∈ R1 . Dann
(n)
FX (x) =
mx
n
empirische Verteilungsfunktion
Die Realisierungen sind Treppenfunktionen, die bei xi um
gen (tritt xi k-mal auf, dann Sprung k/n).
1
n
(1.11)
nach oben sprin-
e) Histogramme (Säulendiagramm, empirische Dichte)
∆1 , . . . , ∆m äquidistante Klasseneinteilung im Bildraum von X
Höhe einer Säule“ proportional zur Anzahl der Xi , die in ∆j liegen;
”
j = 1, . . . , m; siehe Skizze.
f) Stichprobenkorrelationskoeffizient (Pearsonscher Korr.koeffizient)
³ ´
³
X
Y
X1
Y1
´
zweidim. zufälliger Vektor
,...,
³
Xn
Yn
´
n
P
mathematische Stichprobe vom Umfang n dazu
Xi Yi − n
rXY = r³i=1
n
P
i=1
|rXY | ≤ 1.
Xi2 −nX
2
n
P
Xi
n
P
i=1
i=1
´³
n
P
i=1
Yi
Yi2 −nY
n
P
i=1
´ = rP
n
(Xi −X )(Yi −Y )
i=1
P
2 n
(Xi −X )
i=1
2
(Yi −Y )
(1.12)
