Aufgaben der Parameterschätzung Die

Aufgaben der Parameterschätzung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X sei zwar vom Typ her
bekannt, enthalte jedoch noch unbekannte statistische Parameter (z.B. µ, σ 2 ).
Zu den Aufgaben der Parameterschätzung gehören dann:
1) Bestimmung von Schätz- oder Näherungswerten für die unbekannten
Parameter der Verteilung. Dazu soll eine konkrete Stichprobe, die der
betreffenden Grundgesamtheit entnommen wird, verwendet werden.
Der Schätzwert eines Parameters kann als Punkt auf der Zahlengeraden
gedeutet werden. Daher wird diese Art der Parameterschätzung auch als
Punktschätzung bezeichnet.
2) Konstruktion von sog. Konfidenz- oder Vertrauensintervallen, in denen
die unbekannten Parameter mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit
vermutet werden. Auch hier wird eine konkrete Stichprobe verwendet.
Diese Art von Schätzung wird auch als Intervall- oder Bereichsschätzung
bezeichnet.
Mathematik III - Folie 52
Kriterien für eine optimale Schätzfunktion eines unbekannten
statistischen Parameters
Schätzfunktionen für einen unbekannten statistischen Parameter ϑ sind
spezielle Stichprobenfunktionen vom Typ
Θ = g(X1 , X2 , . . . , Xn )
die für jede konkrete Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn einen Schätzwert
ϑ̂ = g(x1 , x2 , . . . , xn )
für den Parameter ϑ liefern. Dabei sind X1 , X2 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariable, die alle die gleiche Verteilungsfunktion F (x) besitzen.
Eine Schätzfunktion Θ wird dabei als optimal angesehen, wenn sie die folgenden
Eigenschaften hat:
1) Die Schätzfunktion Θ ist erwartungstreu, d.h. ihr Erwartungswert ist gleich
dem zu schätzenden Parameter: E(Θ) = ϑ.
2) Die Schätzfunktion Θ ist konsistent (passend), d.h. Θ konvergiert
mit zunehmendem Stichprobenumfang n gegen den Parameter ϑ.
3) Die Schätzfunktion Θ ist effizient (wirksam), d.h. es gibt bei gleichem
Stichprobenumfang n keine andere erwartungstreue Schätzfunktion mit einer
kleineren Varianz.
Mathematik III - Folie 53
Vertrauens- oder Konfidenzintervalle für den unbekannten Parameter ϑ
einer vom Typ her bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung
Sei X eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung einen unbekannten Parameter ϑ
enthalte. Für diesen Parameter lässt sich unter Verwendung einer konkreten Stichprobe
x1 , x2 , . . . , xn auf folgende Weise ein Vertrauens- oder Konfidenzintervall bestimmen:
1) Es wird ein bestimmtes Vertrauens- oder Konfidenzniveau γ = 1 − α gewählt
(0 < γ < 1; α: Irrtumswahrscheinlichkeit).
2) Dann werden für den Parameter ϑ zwei Stichproben- oder Schätzfunktionen
Θu = gu (X1 , X2 , . . . , Xn )
und
Θo = go (X1 , X2 , . . . , Xn )
bestimmt, die mit der gewählten Wahrscheinlichkeit γ = 1 − α den wahren
Wert des Parameters ϑ einschließen:
P (Θu ≤ ϑ ≤ Θo ) = γ = 1 − α .
3) Aus der vorgegebenen konkreten Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn werden die Werte
der beiden Stichprobenfunktionen Θu und Θo berechnet:
cu = gu (x1 , x2 , . . . , xn ) ,
co = go (x1 , x2 , . . . , xn ) .
Diese liefern die Grenzen des gesuchten Vertrauens- oder Konfidenzintervalls.
4) Das Vertrauens- oder Konfidenzintervall für den unbek. Parameter ϑ lautet:
cu ≤ ϑ ≤ co .
Mathematik III - Folie 54