Hausaufgabenblatt 4

Gunter Ochs
Wintersemester 2015/16
Mathematik 3 für Informatik
Hausaufgabenblatt 4
18
1. Wenn man beim Roulette auf Rot oder Schwarz setzt, erhält man mit Wahrscheinlichkeit
37
19
den doppelten Einsatz als Auszahlung, mit Wahrscheinlichkeit
verfällt der Einsatz. Beim
37
1
das 36fache des Einsatzes
Setzten auf eine Zahl bekommt man mit Wahrscheinlichkeit
37
zurück, ansonsten verfällt der Einsatz.
(a) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns (d. h.
Auszahlung minus Einsatz), wenn Sie 111 Euro auf Rot setzen.
(b) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn Sie
in 111 aufeinander folgenden Spielen jeweils einen Euro auf Rot setzen.
(c) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn Sie
111 Euro auf die Zahl 11 setzen.
2. Ein fairer Würfel wird geworfen. Die Zufallsvariable
X
sei 1, falls die Augenzahl ungerade ist,
und 0, falls die Augenzahl gerade ist. Die Zufallsvariable
Y
sei 1, falls die Augenzahl eine 1 ist,
2, falls die Augenzahl eine 2 ist und 0 sonst.
(a) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Zufallsvariablen
Y
und
X,
Z =X ·Y.
(b) Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X, Y
)
und den Korrelationskoezienten
(c) Sind
X
und
Y
unkorreliert oder positiv oder negativ korreliert?
(d) Sind
X
und
Y
unabhängig?
ρ(X, Y ).
3. Bei einer Tombola gibt es 20 Lose, unter denen 6 Gewinne sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 5 gezogenen Losen
(a) mindestens 2,
(b) genau 3
Gewinne benden.
4. Bei der Übertragung von Daten werden einzelne Bits unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit
p
falsch übermittelt.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem 12BitBlock 0, 1, 2 bzw. mehr als
2 Bit falsch übertragen werden, wenn
p = 5%
ist.
(b) Wie würde das Ergebnis in (a) aussehen, wenn die Binomialverteilung durch eine Poisson
Verteilung approximiert wird?
(c) Die Zufallsvariable
X
gebe die Zahl der übertragenen Bits bis zum ersten Übertragungs-
fehler an (das erste falsch übertragene Bit mitgezählt).
Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von
X
im Fall
p = 5%.
(d) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Zahl der Übertragungsfehler bei 10000 Bit, wenn
p = 0, 1%
ist.
(e) Berechnen Sie mit Hilfe der Approximation durch die PoissonVerteilung (näherungsweise)
die Wahrscheinlichkeit, dass bei
werden.
Bitte 2. Seite beachten
p = 0, 1%
von 10000 Bit maximal 5 falsch übertragen
5. Bei einem Glücksspiel wird ein Würfel geworfen. Bei einer gewürfelten 6 beträgt der Gewinn
4 Euro, bei einer 4 oder 5 beträgt er einen Euro und bei einer 1, 2 oder 3 gibt es keinen Gewinn.
(a) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns.
(b) Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass bei 200 Spielen der Gesamtgewinn
(i) mindestens 175 Euro,
(ii) höchstens 220 Euro,
(iii) mindestens 190 Euro und höchstens 230 Euro
beträgt.
6. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim 20maligen Münzwurf maximal 5 mal Zahl zu
erhalten,
(a) mit der Binomialverteilung,
(b) approximativ mit der Normalverteilung mit und ohne Stetigkeitskorrektur.
7. Bei einer TelefonHotline wird davon ausgegangen, dass die Zahl der Anrufer Poissonverteilt
ist.
(a) Zwischen 13:30 Uhr und 13.31 Uhr gehen durchschnittlich 10 Anrufe ein. Bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeit, dass
(i) genau 9,
(ii) zwischen 9 und 11
Anrufe eingehen.
(b) Zwischen 13:30 Uhr und 17:40 Uhr gehen durchschnittlich 2500 Anrufe ein. Bestimmen
Sie mit Hilfe der Normalverteilung approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass
(i) mindestens 2600,
(ii) höchstens 2468,
(iii) zwischen 2510 und 2540
Anrufe eingehen.
8. Gegeben sei die Stichprobe 2, 4, 3, 7, 2, 6.
(a) Bestimmen Sie das arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel.
(b) Bestimmen Sie den Median, die Quartile sowie den Modalwert.
(c) Bestimmen Sie die empirische Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite und den
Interquartilsabstand.
Ausgabe: Donnerstag, 25.2.16,
Abgabe: Montag, 29.2.16