1 UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR HAMBURG Fachbereich

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UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR HAMBURG
Fachbereich Wirtschafts- und Organisationswissenschaften
Statistik I im Frühjahrstrimester 1998
Prof. Dr. G. Uebe
Frau Dipl.Wirtschaftsmathematikerin S. Rosenow
Übungsblatt 9
Aufgabe 47
Der tägliche Absatz X an Eis eines Verkäufers E in den Monaten von Mai bis
September sei normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ2.
a) Sei µ = 400 und σ2 = 900. Berechnen Sie
die Wahrscheinlichkeit, daß der tägliche Absatz zwischen 390 und 450 liegt
und P(|Y - µ| ≤ 10).
b) Es sei µ = 500 und P (|Y| ≤ 500) = 0.4772. Wie groß ist die Standardabweichung σ?
c) Sei P(X ≤ 470) = 0.9332 und P(X > 426) = 0.7580. Bestimmen Sie µ und σ2.
Y
d) Es sei P(Y - µ ≤ 40) = 0.9452 und P( ≤ 25) = 0.9953. Bestimmen Sie µ und σ.
σ
e) Bestimmen Sie, falls möglich, P(X = µ + σ), P(X ≤ µ + 2σ) und P(µ - σ ≤ X ≤ µ + σ).
Aufgabe 48
Die Geschwindigkeit im Bereich einer Autobahnbaustelle sei normalverteilt mit
Erwartungswert µ und Varianz σ2. Zur Kontrolle wird von Zeit zu Zeit ein Radargerät
aufgestellt, welches alle Autos blitzt, die schneller als 65 km/h fahren.
a) Sei µ = 70 und σ2 = 100. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein vorbeifahrendes Fahrzeug geblitzt wird?
b) Sei die Wahrscheinlichkeit, daß ein Auto schneller als 50 km/h fährt 0.8849 und die
Wahrscheinlichkeit, daß es weniger als 80 km/h fährt, 0.5. Berechnen Sie µ und σ2.
Aufgabe 49
Sei p die Wahrscheinlichkeit, daß aus einem eingegrabenen Sonnenblumenkern keine
Pflanze entsteht, und X die Anzahl der Pflanzen aus n gesetzten Kernen. Ob ein Kern
keimt sei dabei unabhängig davon, ob die jeweils anderen Kerne keimen.
a) Ein Kleingärtner versucht es mit 10 Kernen. Da es viele gefräßige Vögel und
Eichhörnchen auf seinem Grundstück gibt, ist p = 0.9. Geben Sie die Verteilung für
X an und berechnen Sie:
1. den Erwartungswert und die Varianz von X.
2. die Wahrscheinlichkeiten, daß mindestens neun Samen, genau neun Samen
oder höchstens neun Samen nicht aufgehen.
b) Eine Gärtnerei setzt 100 Sonnenblumenkerne. Da hier Netze über die Saat gespannt
werden, ist p = 0.09. Berechnen Sie
1. die Wahrscheinlichkeiten, daß höchstens 10, genau 7 oder mindestens 5 Ausfälle
zu verzeichnen sind.
2. den Erwartungswert und die Varianz von X.
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Aufgabe 50
Für die Bepflanzung von vier Balkonkästen werden 20 Pflanzen benötigt. Auf die
Erfahrung des Händlers vertrauend, da die spätere Färbung der Blütenblätter noch
nicht ersichtlich ist, wird ein Sortiment von 5 rot-, 5 weiß- und 10 rosablühenden
Blumen gekauft. Für den ersten Balkonkasten werden zufällig 5 Pflanzen ausgewählt.
a) Geben Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen X: Anzahl der
rosablühenden Pflanzen im Balkonkasten an.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens zwei rosablühende Pflanzen
in den ersten Kasten gesetzt?
c) Die Stadtgärtnerei wählt 1000 rosa, 500 weiße und 500 rote Blumen für die Bepflanzung einiger Verkehrsinseln. Das Beet der ersten Verkehrsinsel mit 20
Blumen darf der Auszubildende bepflanzen, der aus lauter Verzweiflung ebenfalls
eine zufällige Auswahl trifft.
1. Geben Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen Y: Anzahl der
rosablühenden Pflanzen im Beet des Auszubildenden an.
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 12 rosablühende Pflanzen
ins erste Beet gesetzt?
Aufgabe 51
Firma T stellt "Nuß-Schokoladen-Splitter" her und füllt sie in Tüten mit der
Gewichtsangabe 150 g. Der Inhalt einer Tüte sei normalverteilt mit Erwartungswert µ
und Varianz σ2 und abhängig von der jeweiligen Machine, die die Tüten bestückt.
Grundsätzliche Bedingung ist, daß die Abfüllmaschinen so eingestellt werden sollen,
daß 95 % der Tüten 150 g oder mehr wiegen.
a) Maschine A füllt Tüten mit µA = 160 g Inhalt. Untersuchungen haben ergeben, daß
90 % der Tüten mit weniger als 170 g bestückt werden. Erfüllt Maschine A die oben
vorgeschriebene Bedingung?
2 = 25. Es wird der Kauf von Maschine C als Ersatz für
b) Maschine B hat die Varianz σ B
2 = 1 σ 2 arbeitet, da jedes Gramm zuviel in einer
B erwogen, welche mit Varianz σ C
2 B
Tüte den Gewinn mindert.
Wieviel kann pro Tag gespart werden, wenn Maschine C anstelle B produziert,
wenn 2000 Tüten täglich bestückt werden und jedes Gramm Übergewicht 0.02 DM
kostet?
(Investitionskosten werden hier nicht berücksichtigt.)
Aufgabe 52
Es sei X eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
f(x) =
α
, 1≤x≤3
x
0 ,
sonst
a) Berechnen Sie α.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F von X.
c) Wie groß ist der 25-Prozentpunkt und der 50-Prozentpunkt?
d) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X.