Übung 4

Gunter Ochs
Wintersemester 2015/16
Mathematik 3 für Informatik
Präsenzaufgaben zum 25.und 26.2.
1. Sei
fc (x) = c · x · e−x
2
für
x≥0
und
fc (x) = 0
(a) Für welche(n) Wert(e) des Parameters
für
c∈R
x < 0.
ist
fc
eine Wahrscheinlichkeitsdichte?
(b) Bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.
X habe die Dichte fc mit c aus (a). Berechnen Sie
(i) P (X < 2), (ii) P (X > 2) (iii) P (X ≥ 0) (iv) P (1 < X < 3) und (v) P (1 ≤ X ≤ 3).
(c) Die Zufallsvariable
Bemerkung: Bei der Verteilung von X handelt es sich um einen Spezialfall der WeibullVerteilung,
die die Lebensdauer von Bauteilen mit Verschleiÿ modelliert.
X , Y und Z seien unabhängig
V (Y ) = 3 und
V (Z) = 2.
2. Die Zufallsvariablen
V (X) = 1,
Für welche Werte von
Hinweis 1:
a, b ∈ R
Die Varianz von
ist die Varianz von
mit Varianzen
a · X + b · Y + (1 − a − b) · Z
aX + bY + (1 − a − b)Z
minimal?
ist eine Funktion von zwei Variablen
a, b.
Hinweis 2: Es genügt die Bestimmung eines lokalen Minimums. Da die Varianz für a → ∞
und für b → ∞ jeweils gegen unendlich strebt, ist sichergestellt, dass ein eindeutiges lokales
Minimum auch ein globales Minimum ist.
3.
(a) Ein Prüfer hat 18 Standardfragen, von denen er bei einer Prüfung 6 zufällig auswählt. Der
Kandidat kennt die Antwort von 10 der 18 Fragen. Um zu bestehen, benötigt er 3 richtige
Antworten (zu den 6 gestellten Fragen).
Wie groÿ ist seine Chance, die Prüfung zu bestehen?
(b) Es gibt beliebig viele mögliche Fragen, jede Frage wird vom Kandidaten mit
50%iger
Wahrscheinlichkeit richtig beantwortet.
Wie groÿ ist dann die Chance, dass der Kandidat mindestens 3 von 6 Fragen richtig
beantwortet?
4.
(a) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto 6 aus 49 mindestens 3 Richtige zu haben?
(b) Ein Lottospieler spielt so lange, bis er einmal 3 oder mehr Richtige hat.
Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zahl der Versuche, die er dazu benötigt.
(c) Wie oft muss man mindestens spielen, um mit 50prozentiger Wahrscheinlichkeit wenigstens einmal 3 oder mehr Richtige zu bekommen?
Bitte 2. Seite beachten
5. Die Zufallsvariable
X
sei normalverteilt mit Erwartungswert
(a) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass
(i) zwischen 7 und 15,
(ii) kleiner 10,
X
µ=9
und Varianz
σ 2 = 25.
einen Wert
(iii) gröÿer 8
annimmt?
c1 , c2 > 0, so dass gilt
P (9 − c2 < X < 9 + c2 ) ≥ 90 %.
(b) Bestimmen Sie möglichst kleine Zahlen
(i)
P (X ≤ 9 + c1 ) ≥ 90 %,
(ii)
6. Eine verbeulte Münze zeigt mit der Wahrscheinlichkeit
die Anzahl der Zahlen bei
nmaligem
(a) Welcher Verteilung genügt
X
40 %
Zahl. Die Zufallsvariable
X
gebe
Werfen an.
?
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 Würfen mindestens 6 mal Zahl fällt.
(c) Bestimmen Sie mit dem zentralen Grenzwertsatz einmal mit und einmal ohne Stetigkeitskorrektur approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass bei 150 Würfen mindestens 76 mal
Zahl fällt.
(d) Berechnen Sie für
n = 150
mit Stetigkeitskorrektur approximativ die Wahrscheinlichkeit
P (55 < X < 65)
7. Die Zahl
X
der Schadensfälle einer Versicherung an einem Tag sei Poissonverteilt mit Erwar-
tungswert 100.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 100 Schadensfälle auftreten.
(b) Geben Sie Varianz und Standardabweichung von
X
an.
(c) Berechnen Sie approximativ mit Hilfe der Normalverteilung mit Stetigkeitskorrektur die
Wahrscheinlichkeit, dass
(i) mehr als 120,
(ii) weniger als 85,
(d) Was lässt sich über die Verteilung von
(iii) zwischen 90 und 110 Schadensfälle auftreten.
X +Y
hängige Poissonverteilte Zufallsvariable mit Parameter
8. Von einem Artikel wird pro Werktag eine zufällige Stückzahl
und Varianz
V (X) = 2
Y eine weitere
λ = 50 ist?
sagen, wenn
X
von
mit Erwartungswert
X
unab-
EX = 6
verkauft. Der Händler bestellt den Artikel nach, wenn der Lagerbstand
320 Stück erreicht hat. Die Lieferfrist beträgt 50 Werktage.
Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Wahrscheinlichkeit,
dass in der Wiederbeschaungszeit eine Nachfrage nicht befriedigt werden kann (d. h. dass an
50 Tagen mehr als 320 Artikel verkauft werden könnten).