Probeklausur zu Mathematik 3 für Informatik

Gunter Ochs
29. Juni 2015
Probeklausur zu Mathematik 3 für Informatik
Zu bearbeiten sind 8 der 10 Aufgaben. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten. Alle Aufgaben werden
gleich gewichtet (10 Punkte ereichbar). Bei mehr bearbeiteten Aufgaben werden die 8 besten gewertet. Zm
Bestehen der Klausur sind 40 Punkte (50 % der erreichbaren Punktzahl) erforderlich.
√
1. Sei
f (x) =
x3 −1
x−1 .
(a) Bestimmen Sie den Grenzwert
limx→1 f (x).
f 0 (x).
(c) Berechnen Sie die Ableitungsfunktion
x0 = 4.
(d) Bestimmen Sie die Gleichung für die Tangente an der Stelle
2. Sei
f (x, y) = (x2 + 2) · ey−1 + 2x − 3y
(a) Berechnen Sie den Gradienten und die HesseMatrix von
(b) Prüfen Sie, ob an der Stelle
(x1 ; y1 ) = (−1; 1)
f.
ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder
ein Sattelpunkt vorliegt.
(c) Geben Sie die Gleichung für die Tangentialebene im Punkt
3. Gemessen werden zwei Gröÿen
x = 2 ± 0, 1
und
(x0 ; y0 ) = (0; 1)
an.
y = 1 ± 0, 2.
Bestimmen Sie mittels einer linearen Approximation des Fehlers, mit welcher Genauigkeit sich daraus
die Gröÿen
(a)
z=
x2
y
und
(b)
w =x·
√
x + 2y
berechnen lassen.
4. Gegeben seien folgende Dierentialgleichungen 1. Ordnung für die Funktion
(i) x0 = tx −
x
,
t
x(t):
(ii) x0 = t3 · e−x
(a) Handelt es es um lineare Dierentialgleichungen? Wenn ja, homogen oder inhomogen?
(b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichungen (i) und (ii).
(c) Finden Sie jeweils eine spezielle Lösung mit
5.
x(1) = 1.
(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung
x00 + 4x0 + 8x = 0.
(b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung
x00 + 4x0 + 8x = t.
60 %, wenn jemand eine Frage falsch
beantwortet. Gleichzeitig zeigt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % auch dann eine Lüge an, wenn
6. Ein Lügendetektor erkennt mit einer Wahrscheinlichkeit von
die Frage wahrheitsgemäÿ beantwortet wird.
Eine befragte Person lügt mit einer Wahrscheinlichkeit von
30 %.
(a) Beschreiben Sie die angegebenen Wahrscheinlichkeiten als (ggf. bedingte) Wahrscheinlichkeiten
mit den Ereignissen
A:
Lügendektor zeigt Lüge an und
B:
Befragte Person lügt.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der Lügendetektor eine Lüge an?
(c) Angenommen, der Lügendetektor zeigt eine Lüge an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die
befragte Person gelogen?
Probeklausur zu Mathematik 3 für Informatik
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7. Bei einem Glücksspiel wird ein fairer Würfel geworfen. Bei einer 5 beträgt der Gewinn
1 beträgt er
1
5 Euro, bei einer
Euro und bei einer gewürfelten 2, 3, 4 oder 6 gibt es keinen Gewinn.
(a) Geben Sie die Verteilung des Gewinns
Frage kommenden Werte
X
an. (d. h. die Wahrscheinlichkeiten
P (X = k)
für alle in
k)
X.
(b) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns
(c) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gesamtgewinns bei 30 Spielen.
(d) Bestimmen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise die Wahrscheinlichkeit,
dass bei 30maligem Würfeln der Gewinn mindestens 35 Euro beträgt.
8. Von 32 Karten eines Kartenspiels haben 8 die Farbe Karo.
(a) Es werden 6 Karten (ohne Zurücklegen) gezogen. Wie kann die Wahrscheinlichkeit berechnet
werden, dass sich unter den gezogenen Karten mindestens 2 KaroKarten benden ? (Angabe der
Formel genügt)
(b) Für die Aufgabenteile (b) bis (d) werden die Karten mit Zurücklegen gezogen, d. h. bei jedem
Zug beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine KaroKarte
Anzahl der gezogenen KaroKarten bei
Welcher Verteilung genügt
(c) Berechnen Sie
P (X2 = 2),
Xn
n
1
4 . Die Zufallsvariable
Xn
bezeichne die
Zügen.
?
also die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 4 gezogenen Karten genau
2 KaroKarten benden.
(d) Geben Sie Erwartungswert und Varianz von
X16 ,
also der Zahl der gezogenen KaroKarten bei
16 Zügen, an.
9. Gegeben sei die Stichprobe vom Umfang
n = 10
mit den Werten 1, 3, 6, 8, 1, 5, 2, 3, 6 und 5.
(a) Geben Sie eine geordnete Urliste an.
(b) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Median und die Quartile der Stichprobe.
(c) Geben Sie die
pQuantile x̃p
für
p=
1
3 und
p = 0, 8
an.
(d) Berechnen Sie die empirische Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite und den Interquartilsabstand.
(e) Welche der in (b), (c) und (d) berechneten Gröÿen ändern sich nicht, wenn stattdessen die Stichprobe 1, 3, 6,
10,
1, 5, 2, 3, 6 und 5 (unterscheidet sich nur beim vierten Wert
x4 = 10
von der
ursprünglichen Stichprobe) betrachtet wird ?
(kurze Antwort ohne Rechnung genügt)
10. Bei einem normalverteilten Merkmal mit unbekannter Varianz ergibt eine Stichprobe vom Umfang
n = 11
ein arithmetisches Mittel
(a) Testen Sie die Alternative
niveau
x = 111
und eine empirische Varianz
H1 : µ 6= 120
gegen die Nullhypothese
s2 = 99.
H0 : µ = 120
zum Signikanz-
α = 1 %.
(b) Würde sich das Ergebnis in (a) ändern, wenn die Varianz
σ 2 = 99
als bekannt vorausgesetzt
würde?
(c) Geben Sie ein einseitiges Kondenzintervall der Form
für den Erwartungswert
(d) Testen Sie zum Niveau
H0 :
σ2
= 60.
µ
(−∞, b] zum Vertrauensniveau 1 − α = 90 %
an.
α = 10%
die Alternative
H1 : σ 2 6= 60
gegen die Nullhypothese