Prof. Dr. Joachim Merz SS 2004 Statistik II

Prof. Dr. Joachim Merz
SS 2004
Statistik II - Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik
Aufgabenblatt 1:
Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zufallsvariablen und
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1
Kombinatorik
1.1
Eine Fahrgemeinschaft besteht aus 5 Studenten. Jede Woche fährt ein anderer die
Gruppe mit seinem Wagen zur Uni. Wie viele verschiedene Rangfolgen der 5 Fahrer
sind möglich?
1.2
Der Rangiermeister der Deutschen Bahn hat die Aufgabe, einen Zug aus 7 Wagen
zusammenzustellen, wobei 2 Wagen 1. Klasse und 5 Wagen 2. Klasse sein sollen. Wie
viele verschiedene Wagenreihungen kann der Rangiermeister erstellen?
1.3
Ein Safe wird mit einer 4-stelligen Zahlenkombination gesichert. Jede Ziffer darf aus
Sicherheitsgründen nur einmal vorkommen. Wie viele Zahlenkombinationen sind
möglich?
1.4
Ein Würfel wird viermal hintereinander geworfen. Wie viele verschiedene Ergebnisse
gibt es?
1.5
Wie viele verschiedene Tippscheine sind beim Lotto 6 aus 49 möglich?
1.6
Es werden 2 Würfel gleichzeitig geworfen. Wie viele verschiedene Augenpaare
können auftreten?
2
Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung
2.1
Für eine Menge R gibt es folgende Ereignisse {∅, G, A, B, C}, die sich nicht
gegenseitig ausschließen müssen, und es sei A ∪ B ∪ C = G. Welche der folgenden
Funktionen P erfüllen die Kolmogoroff’schen Axiome?
a)
b)
c)
d)
P(A∪C)=0,4
P(A)=0,3
P(A)=0,4
P(A)=1/3
P(B)=0,6
P(B)=0,3
P(B)=0,4
P(B)=1/3
P(C)=0,3
P(C)=0,4
P(A∩B)=3/4
P(C)=2/3
2.2
Sie gehen auf die Pferderennbahn. Bei jedem Rennen starten 8 Pferde, die alle gleich
schnell sein sollen, so dass das Rennergebnis als zufällig angenommen werden kann.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in drei Rennen
a)
b)
c)
d)
2.3
immer das Pferd „Crazy Horse“ gewinnt?
immer das gleiche Pferd gewinnt?
immer unterschiedliche Pferde gewinnen?
ein Pferd genau zweimal gewinnt?
Gegeben sind folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(A)=0,7
P(A∪B)=0,9
a)
b)
c)
d)
2.4
P(B)=0,4
P(C)=0,5
P(A∩C)=0,4
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A oder C eintritt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintritt?
Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B).
Sind die Ereignisse A und B unabhängig?
Meteorologen haben festgestellt, dass die Regenwahrscheinlichkeit in Lüneburg von
der Jahreszeit abhängig ist. So beträgt die Regenwahrscheinlichkeit in den 3
Wintermonaten 20 Prozent, während sie in den anderen Monaten bei 40 Prozent liegt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in Lüneburg regnet?
b) Es regnet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es Winter ist?
c) Es regnet nicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht Winter ist?
3
3.1
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilung
Auf dem Marktplatz treffen Sie einen sympathischen jungen Mann, der mit Ihnen ein
kleines Spielchen machen will: eine Münze wird viermal geworfen. Der junge Mann
schlägt Ihnen folgende Bedingungen vor:
Anzahl der Kopfwürfe (X) Gewinn in Euro
0
-2,5
1
-1,5
2
-0,5
3
2
4
3
a) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion für X und stellen Sie diese grafisch dar.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen (bei einmaligem Spiel9?
c) Berechnen Sie den Erwartungswert des Gewinns. Ist das Spiel fair?
3.2
X sei eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion:
0,5ax + 0,25 für 0 ≤ x ≤ 2
f (x) = 
0
sonst

a) Welchen Wert muß a annehmen, damit f(x) tatsächlich die Dichtefunktion einer
Zufallsvariablen ist?
b) Berechnen Sie den Erwartungswert.
c) Berechnen Sie die Varianz.
d) Berechnen Sie P(X>1).
3.3
X sei eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion:
4 x 3
f (x) = 
 0
für 0 < x < a
sonst
a) Welchen Wert muß a annehmen, damit f(x) tatsächlich die Dichtefunktion einer
Zufallsvariablen ist?
b) Berechnen Sie den Erwartungswert.
c) Berechnen Sie die Varianz.
d) Für die Zufallsvariable Y gelte: Y=1-2X. Berechnen sie den Erwartungswert und
die Varianz von Y.
Lösungshinweise:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
2.1
2.2
2.3
2.4
3.2
Permutation ohne doppelte Elemente (ohne Wiederholung)
Permutation mit doppelten Elementen (mit Wiederholung)
Variation ohne Wiederholung
Variation mit Wiederholung
Kombination ohne Wiederholung
Kombination mit Wiederholung
Prüfen Sie für jede der Teilaufgaben, ob jeweils alle drei Axiome (im Skript auf S. 6 unten) erfüllt sind. Bei a) und b) ist dies der Fall,
c) und d) erfüllen die Anforderungen nicht.
Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl aller möglichen.
Additionssatz (a und b)
Multiplikationssatz (c)
Wahrscheinlichkeit über Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (a)
Satz von Bayes (b und c)
Da die Funktion nur zwischen x=0 und x=2 Werte annehmen kann reicht es, ausschließlich diesen Bereich zu betrachten. In diesem
Bereich müssen die Eigenschaften stetiger Verteilungsfunktionen erfüllt sein (Skript S. 28). Æ Integral zwischen 0 und 2 aufstellen,
Stammfunktion bilden und nach a auflösen. Erwartungswert siehe Seite 32 (stetige Funktion). Wahrscheinlichkeit berechnen:
P(x>1)=1-F(1) Æ Zunächst Verteilungsfunktion aufstellen und für x=1 einsetzen!