7 Diskrete und stetige Verteilungen

Übungsbeispiele Statistik I für VolkswirtInnen — WS 2005/06
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Diskrete und stetige Verteilungen
7.1 Es sei X die Anzahl der in einer Vierkinderfamilie geborenen Knaben. Man
bestimme die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser Zufallsvariablen, wenn die
Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt
• p = 0.5
• p = 0.512 (Schätzung aus einer Geburtenstatistik)
beträgt. Bestimmen Sie für beide Fälle auch den Erwartungswert und die
Varianz.
7.2 Berechnen Sie unter der Annahme, dass eine Knabengeburt mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0.512 auftritt, die Wahrscheinlichkeit, dass das
• erste
• zweite
• dritte
• vierte
Kind einer Familie das (i) erstgeborgene Mädchen bzw. (ii) das zweitgeborene
Mädchen ist.
7.3 In einer Lieferung von 120 Lebensmittelpaketen befinden sich 25 verdorbene.
20 Pakete werden zufällig herausgegriffen und geprüft. Weiters bezeichne X
die Anzahl der endeckten verdorbenen und Y die Anzahl der entdeckten guten
Pakete.
• Man bestimme Erwartungswert und Varianz der beiden Zufallsvariablen.
• Berechnen sie die Wahrscheinlichkeiten P (1 ≤ X ≤ 3) und P (14 ≤ Y ≤
17)
7.4 Fünf von 1000 Patienten reagieren auf ein bestimmtes Medikament allergisch.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 300 Behandelten
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DISKRETE UND STETIGE VERTEILUNGEN
7.5 X sei eine Zufallsvariable, die auf dem Intervall [a, b] gleichverteilt ist und
somit folgende Dichtefunktion aufweist:

 1
falls a ≤ x ≤ b,
f (x) = b − a

0 sonst.
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert gleich
ist.
a+b
2
und die Varianz gleich
7.6 Berechnen Sie für die Exponentialverteilung die momenterzeugende Funktion
und mithilfe dieser den Erwartungswert und die Varianz der Exponentialverteilung.
7.7 Die Lebensdauer (in Stunden) eines bestimmten Typs von Glühbirnen sei
exponentialverteilt mit Dichtefunktion

 1 e−x/1000
x≥0
f (x) = 1000

0
x<0 .
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Glühbirne
eine Lebensdauer von weniger als 1000 Stunden hat. Zeichnen Sie auch den
Graphen der Dichtefunktion.
7.8 Die Zufallsvariable X sei standardnormalverteilt [N (0, 1)]. Man bestimme die
Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
a) {X ≤ 1.31}
b) {X > 3.2}
c) {X < −0.1}
d) {X > −2.32}
e) {−1 < X ≤ 1.5}
f) {−3 < X ≤ 3}
g) {−0.2 < X ≤ 0.1}
h) {|X| ≤ 2}
i) {X 2 < 4}
7.9 W. Winkler fand bei einer Untersuchung von Mistelbacher Rekruten des Jahrganges 1913, dass deren Körpergröße X mit guter Näherung als normalverteilte Zufallsgröße mit Mittelwert 166 cm und einer Standardabweichung von
6 cm betrachtet werden kann.
• 3 Personen
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
• 3 oder mehr Personen
a) {X ≤ 150}
allergisch reagieren?
b) {X > 170}
c) {160 < X ≤ 184} .
7.10 X ∼ N (5, 9); gesucht ist c für:
a) P (X > c) = 0.75
M. Hudec, P. M. Steiner
(b−a)2
12
b) P (|X − 5| < c) = 0.95 .
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Übungsbeispiele Statistik I für VolkswirtInnen — WS 2005/06
7.11 X ∼ N (µ, σ 2 ); Es gelte P (X ≤ 3) = 0.80:
(a) µ = −2
σ=?
(b) σ = 2
µ=?
7.12 Die tägliche Nachfrage nach einem Gut sei normalverteilt mit µ = 200 und
σ = 20. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamte Nachfrage nicht
erfüllt werden kann, wenn noch i) 230 bzw. ii) 280 Stück auf Lager sind?
7.13 X ∼ N (4, 25). Welche Verteilungen haben 2X, −X und 3X − 12?
7.14 Bei einer Volksabstimmung haben 70% der Stimmberechtigten von ihrem
Wahlrecht Gebrauch gemacht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in
einer Stichprobe von 500 Stimmberechtigten mindestens 200 Nichtwähler enthalten sind?
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DISKRETE UND STETIGE VERTEILUNGEN
(b) Wie stark streut der Erwartungswert der Jahresnachfrage?
(c) Es wurden 40 Exemplare zu Jahresbeginn für den Verkauf bereitgestellt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Bestand spätestens Ende
November des Jahres verkauft ist (es wird vorausgesetzt, dass die Nachfragemengen in den einzelnen Monaten voneinander unabhängig sind und
die gleiche Verteilung haben)?
7.18 Das Gewicht einer Bevölkerung sei nach N (72, 100) verteilt. Wie groß muss der
Stichprobenumfang gewählt werden, damit das mittlere Gewicht der Personen
mit einer Wahrscheinlichkeit von
a) 0.9
b) 0.95
c) 0.99
mehr als 10 kg beträgt?
7.15 Eine Lieferung wird abgelehnt, wenn in einer Stichprobe von 500 Stück mindestens 5 defekte Stück enthalten sind. Wenn nun tatsächlich 0.5% der Stücke
defekt sind, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung abgelehnt wird? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit mithilfe folgender Verteilungen:
(a) Binomialverteilung
(b) Poissonverteilung
(c) Normalverteilung
7.16 Eine beliebig verteilte Zufallsvariable X hat einen Erwartungswert von µ = 72
und eine Standardabweichung von σ = 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass für den Mittelwert X einer Stichprobe von 80 Werten gilt:
a) X ≤ 71.1
b) X > 72.5
Für welchen Wert c gilt
c) P (X > c) = 0.90
d) P (X > c) = 0.95 ?
7.17 Eine Buchhandlung betrachtet die monatliche Nachfrage nach einem bestimmten Sachbuch als Zufallsgröße X mit der folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Nachfrage
0
1
2
3
4
5
6
Wahrscheinlichkeit 0.02 0.05 0.30 0.27 0.20 0.10 0.06
(a) Wie groß ist der Erwartungswert der Nachfrage?
M. Hudec, P. M. Steiner
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