Übungsklausur - Helmholtz

Jg. Q2, LK-M
Name: ________________________________________
Dezember 2012
Übungsklausur
Aufgabe 1)
Gegeben sind 3 Kästen mit je 2 Schubladen. In jeder Schublade liegt eine Münze: Im ersten
Kasten Gold-Gold, im zweiten Silber-Silber, im dritten Gold-Silber. Ich wähle einen Kasten,
ziehe eine Schublade und sehe eine Goldmünze. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist in der
anderen Schublade meines Kastens
a) eine Goldmünze?
b) eine Silbermünze?
Aufgabe 2)
Eine Lotterie laufe folgendermaßen ab: Man zahlt einen Einsatz von 10 € und zieht eine
Kugel aus einer Urne, die 4 rote und 6 schwarze Kugeln enthält. Je nach der gezogenen Farbe
zieht man aus einer roten bzw. schwarzen Urne wieder eine Kugel. Die Zahl auf dieser Kugel
ist die Auszahlung in €. Die rote Urne enthält Kugeln mit den Zahlen 20, 20, 10, 10 und 0.
Die schwarze Urne enthält Kugeln mit den Zahlen 100, 10, 0 und 0.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße Gewinn an. Zeichnen Sie
dazu einen Wahrscheinlichkeitsbaum.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße Gewinn.
Aufgabe 3)
4 Kinder losen um 4 Äpfel, 2 große und 2 kleine. Sie werfen der Reihe nach eine Münze. Wer
„Adler“ wirft, erhält einen großen Apfel, wer „Zahl“ wirft einen kleinen, bis nur noch große
oder kleine Äpfel da sind.
a) Ist das Verfahren gerecht, das heißt hat jedes Kind die gleiche Aussicht, einen großen
Apfel zu erhalten?
b) Ist es für je zwei von ihnen gleich wahrscheinlich, dass beide einen großen Apfel
bekommen?
c) Beurteilen Sie das Verfahren, wenn 3 Kinder um 1 großen und 2 kleine Äpfel losen.
Aufgabe 4)
Eine Firma stellt Styroporkugeln her. Das Gewicht der Kugeln hat den Erwartungswert
μ = 7,5 g und die Standardabweichung σ = 0,03g . Welche Abweichung vom
Erwartungswert muss die Firma zulassen, wenn der Ausschuss höchstens etwa 10 % betragen
soll?
Jg. Q2, LK-M
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Dezember 2012
Übungsklausur
Aufgabe 5)
Eine Maschine stellt Werkstücke mit einem Ausschussanteil von 4 % her.
a) Man entnimmt der laufenden Produktion 100 Stück. Berechnen Sie den Erwartungswert,
Varianz und Standardabweichung der Zufallsgröße X := „Anzahl der defekten Stücke“
und Y:= „Anzahl der brauchbaren Werkstücke. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die
Anzahl der Ausschussstücke im Bereich [μ − σ ; μ + σ ] ? Berechnen Sie diese
Wahrscheinlichkeit
i)
ii)
ii)
exakt.
mit Hilfe der Gaußschen Dichtefunktion.
mit Hilfe der stochastischen Tabellen für kumulierte Wahrscheinlichkeiten.
b) Wie viel Werkstücke darf man höchstens entnehmen, damit man mit 95 % Sicherheit nur
brauchbare hat? Welche Anzahl erhält man, wenn man nur 90 % Sicherheit fordert?
Aufgabe 6)
Zeigen Sie rechnerisch folgende Identität:
⎛ n ⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ für 1 ≤ k ≤ n − 1
⎝ k ⎠ ⎝ k − 1⎠ ⎝ k ⎠
Tipp: Formen Sie die rechte Seite der Identität so um, dass Sie die linke Seite erhalten!
Aufgabe 7)
Ein Tetraeder, dessen Flächen mit den Augenzahlen „1“ bis „4“ nummeriert sind, wird 100
mal gewürfelt. Als Zufallsgröße X wird die Anzahl der Einsen betrachtet.
a) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Zufallsgröße X.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden genau 25 Einsen gewürfelt. Bestimmen Sie diese
Wahrscheinlichkeit
exakt.
i)
mit Hilfe der stochastischen Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten.
ii)
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für die Anzahl der Einsen gilt:
mindestens 20
i)
mindestens 20 aber höchstens 30
ii)
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „höchstens 78 mal ‚keine Eins‘“?
Erläutern Sie dazu mit eigenen Worten, wie sie für diese Wahrscheinlichkeit die
stochastische Tabelle nutzen können.