Ergänzungen zur Formelsammlung - Helmholtz

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Ergänzungen zur Formelsammlung E von Helmut Sieber, Klett, Seite 4
Kombinatorik (S. 27)
Teilchenstatistik
k Kugeln werden auf n Schubfächer verteilt
m Möglichkeiten
Boltzmann : n, k beliebig, Kugeln unterscheidbar,
pro Fach : beliebig viele
m = nk
Bose-Einstein : n, k beliebig, Kugeln nicht unterscheidbar, pro Fach : beliebig viele
m =
n + k - 1
 k 
Fermi : Kugeln nicht unterscheidbar, pro Fach
höchstens eine  n  k
m =
n
k 
Stochastik (S. 28 ff)
Bedingte Wahscheinlichkeit
in Formelsammlung andere Symbolik als im
Unterricht und allgemein üblich
Formelsammlung : pY(X) für Wahrsch. X falls Y
üblich : p(X|Y) für Wahrscheinlichkeit. X falls Y
Maßzahlen (S. 30)
Zufallsvariable X wird n mal gebildet
Erwartungswert : E(M) = E(X)
X1 = X2 = ... = Xn
X + X2 + ... + Xn
Arithmetisches Mittel M = 1
n
1
Varianz : VAR (M) = n VAR (X)
1
M =
X ("Wurzel-n-Gesetz")
Stetige Zufallsvariaben
Verteilungsfunktion F(x), Dichte f‘(x) = F‘(x)
n

Erwartungswert :  = 
x f(x) dx

2
Varianz :  =
-
Chi-Quadrat-Vierfeldertest :
2

(x -  ) f(x) dx
-
E Erfolg, M Mißerfolg, A, B Proben, N Anzahl der Proben
(n - 1)(E M - E M )
2
2
B
B A
 = (E + E )(M + MA )(E
A
B
A
B A + MA)(EB + MB)
Die Test-Größe Chi-Quadrat
2
 =

(xi - i)
i
2
i
Mittelwertregeln nach Engel
Ein stochastischer Prozeß mit Zuständen i,
W-Graph mit Übergangswahrscheinlichkeiten pij
Start, absorbierende (Rand-) Zustände
Wird ein Zustand i als "Gewinn", so gilt für die
Wahrscheinlichkeit des Gewinns
1. Mittelwertsregel : Wahrscheinlichkeit, von einem Zustand
i aus zu gewinnen, ist gleich dem gewichteten Mittel der
Wahr-scheinlichkeiten, von einem Nachbarzustand aus zu
gewinnen
Für die mitttlere Schrittzahl vom Start gilt
2. Mittelwertsregel : Erwartungswert, von einem Zustand i
aus zum Rand zu gelangen, ist gleich 1 + dem gewichteten
Mittel der Schrittzahlen, von einem Nachbarzustand aus zum
Rand zu gelangen
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