Lösungen Blatt1
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1 Übungsaufgaben und Lösungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitslehre und Statistik Blatt1 1 In einer Urne befinden sich 5 weiße und 3 schwarze Kugeln. Wir ziehen 5 mal nacheinander mit Zurücklegen. a Welche Verteilungsfunktion beschreibt das Zufallsexperiment? Welche Parameter beschreiben diese Verteilung und welche Werte besitzen sie in diesem Beispiel? Welche 2 Werte µ bzw. s besitzen Erwartungswert bzw. Varianz? b Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 schwarze Kugeln zu ziehen? Wie lauten die entsprechenden Werte für weiße Kugeln? c Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 weiße Kugeln zu erhalten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 1, aber höchstens 2 schwarze Kugeln zu ziehen. Lösung a Es handelt sich um eine Bernoulliverteilung mit den Parametern p = 5 (für das Ziehen einer 8 3 (für das Ziehen einer schwarzen Kugel) und n = 5. Der 8 25 15 Erwartungswert ist definiert durch µ = n p = (für weiße Kugeln) bzw. durch µ = n p = 8 8 (für schwarze Kugeln). Die entsprechenden Werte der Varianz sind in beiden Fällen: 5 3 75 s2 = n ◊ p ◊ q = 5 ◊ ◊ = . 8 8 64 weißen Kugel) bzw. p = b Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit x schwarze Kugeln bei n Versuchen zu ziehen mit der Formel: Ê 5ˆ Ê 3 ˆ 0 Ê 5 ˆ 5 Ê 5 ˆ 5 Ê 5ˆ Ê 3 ˆ1 Ê 5 ˆ 4 Ê n ˆ x n-x f(x) = P(X = x) = Á ˜ ◊ p ◊ q zu f(0) = Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ = Á ˜ , f(1) = Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ , Ë 0¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ Ë 1¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ Ë x¯ f(2) = Ê 5ˆ Ê 3 ˆ 2 Ê 5 ˆ 3 Á ˜◊Á ˜ ◊Á ˜ , Ë 2¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ f(3)= Ê 5ˆ Ê 3 ˆ 3 Ê 5 ˆ 2 Á ˜◊Á ˜ ◊Á ˜ , Ë 3¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ f(4) = Ê 5ˆ Ê 3 ˆ 4 Ê 5 ˆ1 Á ˜◊Á ˜ ◊Á ˜ Ë 4¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ und Ê 5ˆ Ê 3 ˆ 5 Ê 5 ˆ 0 Ê 3 ˆ 5 f(5) = Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ = Á ˜ . Ë8¯ Ë 5¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ Die entsprechenden Werte g(x) für die weißen Kugeln sind g(x) = 1 - f(x). c Die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 weiße Kugeln zu erhalten ist: Ê 5ˆ Ê 5 ˆ 3 Ê 3 ˆ 2 Ê 5ˆ Ê 5 ˆ 4 Ê 3 ˆ1 Ê 5ˆ Ê 5 ˆ 5 Ê 5 ˆ 0 g( 3) + g( 4 ) + g( 5) = Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ + Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ + Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ , Ë 3¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ Ë 4 ¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ Ë 5¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ die Wahrscheinlichkeit mindestens 1 schwarze Kugel zu ziehen ist 1 - f(0) und die Wahrscheinlichkeit höchstens 2 schwarze Kugeln zu erhalten ist 1 - f(3) - f(4) - f(5). Die Wahrscheinlichkeit mindestens 1, aber höchstens 2 ist 1 - f(0) - f(3) - f(4) - f(5). 2 2 In einer Fabrik werden serienmäßig Schrauben mit einem Ausschußanteil von 2% hergestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit finden wir in einer Zufallsstichprobe von 5 Schrauben genau 0, 1, 2, 3, 4 bzw. 5 unbrauchbare? Welches Ergebnis leiten wir daraus für brauchbare 2 Schrauben her? Welche Werte µ bzw. s besitzen Erwartungswert bzw. Varianz? Lösung Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment mit p = 0.02 für unbrauchbare Produkte, d.h. q = 0.98 für brauchbare, und n = 5 für den Stichprobenumfang. Die Lösungsformel für die Anzahl unbrauchbarer Schrauben heißt: Ê 5ˆ f ( x ) = Á ˜ ◊ 0.02 x ◊ 0.985- x ergibt folgende Lösungen: Ë x¯ Ê 5ˆ Ê 5ˆ f (1) = Á ˜ ◊ 0.021 ◊ 0.98 4 = 0.092 , f ( 2 ) = Á ˜ ◊ 0.022 ◊ 0.983 = 0.0038 , Ë 1¯ Ë 2¯ Ê 5ˆ Ê 5ˆ Ê 5ˆ f ( 3) = Á ˜ ◊ 0.023 ◊ 0.982 = 0.00007 , f ( 4 ) = Á ˜ ◊ 0.02 4 ◊ 0.981 = 0 und f ( x ) = Á ˜ ◊ 0.025 ◊ 1= 0. Ë 4¯ Ë 3¯ Ë 5¯ f ( 0 ) = 0.985 = 0.904 , 2 Der Erwartungswert ist µ = n · p = 0.02 · 5 = 0.1 und s = n · p · q = 0.098. 3 Eine Lieferung enthält N = 100 Transistoren, die aus einer Massenproduktion mit 5% Ausschuß stammen. Bei der Anlieferung der Ware wird vom Kunden eine Abnahmekontrolle in Form einer Stichprobe vom Umfang n = 4 ohne Zurücklegen durchgeführt (Hypergeometrische Verteilung). Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält die durchgeführte Stichprobe nur einwandfreie Ware? Lösung Die Zufallsvariable X = Anzahl der in der Stichprobe vom Umfang 4 vorgefundenen defekten Transistoren ist hypergeometrisch verteilt. Mit N = 100, M = 5 (5% Ausschuss) und n = 4 lautet die Formel: Ê 5 ˆ Ê100 - 5ˆ Á ˜◊Á ˜ Ë x¯ Ë 4 - x ¯ f ( x ) = P( X = x ) = . Errechnet man das folgende Ergebnis: Ê100 ˆ Á ˜ Ë 4 ¯ Ê 5ˆ Ê100 - 5ˆ Ê 95ˆ Á ˜◊Á ˜ Á ˜ Ë 0¯ Ë 4 - 0 ¯ Ë 4 ¯ = = 0.812 . f(0) = f ( 0 ) = Ê100 ˆ Ê100 ˆ Á ˜ Á ˜ Ë 4 ¯ Ë 4 ¯ 3 4 Beim radioaktiven Zerfall ist die Zufallsvariable X = Anzahl der pro Sekunde zerfallenden Atomkerne Poisson verteilt mit dem Parameter µ. Dieser gibt an, wie viele Atomkerne durchschnittlich pro Sekunde zerfallen. Bei einem speziellen Präparat zerfallen im Mittel pro Minute 120 Atomkerne. a Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Zählgerät mehr als 2 Zerfälle pro Sekunde zu beobachten? b Welchen Wert muß • 2i  i! besitzen? i=0 Lösung a Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung heißt: m x -m f ( x ) = P( X = x ) = ◊e . x! Mit µ = 120 = 2 ist die Wahrscheinlichkeit für den Zerfall von x = 0,1 und 2 Kernen gegeben 60 durch: f (0) = 20 -2 21 22 -2 ◊ e , f (1) = ◊ e -2 und f ( 2 ) = ◊e . 0! 1! 2! Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Zählgerät mehr als 2 Zerfälle pro Sekunde zu beobachten, ist damit 1 - F( 2 ) = P( X > 2 ) = 1 - ( f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 )) = 1 - (1 + 2 + 2 ) ◊ e -2 = 1 - 5 ◊ e -2 . • b Wegen i =0 5 •  f ( i) = • i • i 2i -2 2 2 -2 , folgt ◊ e = e ◊ = 1  i!  i!  i! = e2 . i =0 i =0 i =0 Die Serienproduktion von Glühbirnen erfolgt mit einem Ausschussanteil von 1%. Aus der laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang n = 100 entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält diese Stichprobe drei oder mehr defekte Glühbirnen? Lösung Wir rechnen mit der Formel für die Poissonverteilung mit µ = n · p = 100 · 0.01 =1 und f ( x ) = P( X = x ) = f(0)=f(1) = m x -m 1x -1 1 . ◊e = ◊e = x! x! x!◊e Dies ergibt: 1 1 und f(2) = , e 2◊e also ist die Wahrscheinlichkeit drei oder mehr defekte Glühbirnen zu erhalten gegeben durch: 1 - F( 2 ) = P( X ≥ 3) = 1 - (1 + 1 + 0.5) . e 4 6 Eine Gartenfläche wird in 100 Quadrate gleicher Größe unterteilt. Anschließend werden die Anzahl von Schnecken für jedes Quadrat gezählt. Dabei kam es zu folgendem Ergebnis: Anzahl r der Schnecken Häufigkeit von r 0 69 1 18 2 7 3 2 4 1 5 1 8 1 15 1 Berechne den Mittelwert und die Varianz der Verteilung und prüfe, ob die Verteilung als Poisson-Verteilung angesetzt werden kann. Lösung Für den Mittelwert berechnen wir x= 69 ◊ 0 + 18 ◊ 1 + 7 ◊ 2 + 2 ◊ 3 + 1 ◊ 4 + 1 ◊ 5 + 1 ◊ 8 + 1 ◊ 15 70 = = 0.7 . 100 100 Für die Varianz berechnen wir: 2 2 2 2 2 99 ◊ s2 = 69 ◊ (0 - 0.7) + 18 ◊ (1 - 0.7) + 7 ◊ (2 - 0.7) + 2 ◊ (3 - 0.7) + 1 ◊ (4 - 0.7) + 1 ◊ (5 - 0.7) 2 + 1 ◊ (8 - 0.7) + 1 ◊ (15 - 0.7) 2 2 Daraus folgt s2 = 33.81 + 1.62 + 11.83 + 10.58 + 10.89 + 18.49 + 53.29 + 204.49 = 3.48 . 99 2 Für die Poissonverteilung soll gelten s = µ. Dies ist auch nicht näherungsweise gegeben. Also kann die Poissonverteilung nicht angesetzt werden.
