Klausur Sommersemester 2013 mit Kurzlösung

Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie
der Otto-Friedrich-Universität Bamberg
Prof. Dr. Susanne Rässler
Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung)
Sommersemester 2013
Aufgabe 1
In einer Urne U1 befinden sich 3 schwarze und 2 weiße Kugeln; in einer zweiten Urne U2
sind 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, aus U1 eine schwarze Kugel zu ziehen. Geben
Sie die Wahrscheinlichkeit an, aus U2 eine schwarze Kugel zu ziehen.
b) Sie ziehen ohne Zurücklegen aus U1 zwei Kugeln. Wieviele Möglichkeiten gibt es,
zwei schwarze Kugeln zu ziehen?
c) Sie ziehen nacheinander ohne Zurücklegen aus U1 zwei Kugeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die zweite Kugel weiß, wenn die erste schwarz ist?
d) Es wird blind aus einer der Urnen eine Kugel gezogen. Sie ist weiß. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit stammt sie aus U1 ?
Nehmen Sie nun an, dass alle Kugeln aus den zwei Urnen in eine Urne zusammengelegt
werden. Es wird eine Stichprobe von n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
e) Geben Sie eine Verteilung für die Wahrscheinlichkeit an, dass in der n-elementigen
Stichprobe k schwarze Kugeln enthalten sind. Geben Sie explizit die Wahrscheinlichkeitsfunktion an.
f) Es wird eine Stichprobe vom Umfang n = 6 gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass darin 3 schwarze Kugeln enthalten sind?
Aufgabe 2
In einem Produktionsprozess kommt es aufgrund eines Engpassfaktors zu Wartezeiten zwischen zwei Produktionsschritten. In den letzten Wochen wurden die folgenden Wartezeiten
(in Stunden) beobachtet
2
1
4
2,3
4,5
2
3
1 .
Der leitende Ingenieur nimmt an, dass die zufällige Wartezeit Z (in Stunden) dabei einer
Exponentialverteilung mit der Dichtefunktion
1
1
fZ (z) = exp − z
falls z ∈ [0, ∞), λ > 0
λ
λ
und korrespondierender Verteilungsfunktion
1
FZ (z) = 1 − exp − z
λ
folgt. Der Erwartungswert von Z ist damit λ und die Varianz von Z ist λ2 .
a) Was versteht man im Allgemeinen unter einer stetigen Zufallsvariablen?
b) Welche Eigenschaften weist eine beliebige Dichtefunktion auf?
c) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter λ bei Vorliegen
einer einfachen Stichprobe. Gehen Sie dabei von
Pn
zi n
∂ ln L(λ; z1 , . . . , zn )
= i=1
−
2
∂λ
λ
λ
aus. Welchen Wert nimmt der Schätzer aufgrund der vorliegenden Daten an?
d) Überprüfen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer auf seine Erwartungstreue.
e) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass die Wartezeit
e.1) länger als der Erwartungswert ist.
e.2) zwischen 3 und 5 Stunden liegt.
Verwenden Sie dazu den unter c) berechneten Schätzwert für λ.
Hinweis: Falls Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für λ in Teilaufgabe c) nicht
bestimmen konnten, verwenden Sie den Wert λ̂ML = 2.
Aufgabe 3
Sei R1 die monatliche Rendite eines Dachfonds und R2 die monatliche Rendite einer Staatsanleihe. Es wird angenommen, dass R1 normalverteilt ist mit µ1 = 5 und σ12 = 10. Auch
die Rendite der Staatsanleihe R2 wird als normalverteilt angenommen mit µ2 = 3 und
σ22 = 4. Außerdem sind die beiden Renditen korreliert mit ρ = 0, 2.
a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion von R2 .
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass R1 zwischen 4 und 6 liegt.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Renditen gleich 12
ist?
Es soll überprüft werden, wie sich die Differenz D = R1 −R2 der beiden durchschnittlichen
Renditen entwickelt hat. Bezeichnen Sie dazu R1 als arithmetisches Mittel der monatlichen
Renditen des Dachfonds über einen Zeitraum von 20 Monaten und R2 als arithmetisches
Mittel der monatlichen Renditen der Staatsanleihe, ebenfalls über einen Zeitraum von 20
Monaten.
d) Wie und mit welchen Parametern sind R1 und R2 jeweils verteilt?
e) Berechnen Sie den Erwartungswert E R1 − R2 und die Varianz Var R1 − R2 .
Hinweis: Cov[R1 , R2 ] = 0.0632.
f) Für eine Stichprobe von 20 Monaten ergibt sich eine beobachtete mittlere Differenz
2 = 20.
D = R1 − R2 von 2,03 und eine Stichprobenvarianz der Differenz von SD
Überprüfen Sie mittels eines Mittelwertdifferenzentests für verbundene Stichproben,
ob die Mittelwertdifferenz δ = µ1 − µ2 signifikant (α = 0, 05) von null verschieden
ist.
Aufgabe 4
Ein Automobilhersteller führt eine Studie zur Qualitätssicherung durch. Dafür wird bei
n = 150 Vertragswerkstätten überprüft, wie genau die Inspektionsvorschriften eingehalten
werden. Eine Inspektion gilt als nicht ordnungsgemäß erledigt, wenn eine Punktzahl X
von 50 oder weniger erreicht worden ist. Aus Voruntersuchungen ist bekannt, dass die
Punktzahl pro Betrieb einer Normalverteilung folgt. Als realisiertes Stichprobenmittel
ergibt sich X n = 55. Die Stichprobenvarianz lautet Sn2 = 100.
a) Überprüfen Sie anhand eines geeigneten statistischen Tests, ob im Mittel ordnungsgemäße Inspektionen durchgeführt worden sind (α = 0, 05). Interpretieren Sie das
Ergebnis inhaltlich. Auf eine Interpretation des Fehlerrisikos kann verzichtet werden.
b) Nehmen Sie Stellung zu folgender Aussage und begründen Sie kurz.
Je größer die Stichprobenvarianz ist, desto größer muss das Stichprobenmittel (bei gleicher Stichprobengröße!) sein, damit die Behauptung von ordnungsgemäßen Inspektionen unterstützt wird.
c) Illustrieren Sie den unter a) durchgeführten Test in einer Grafik. Skizzieren Sie hierzu
die Verteilung der Teststatistik unter Gültigkeit der Nullhypothese und zeichnen Sie
den Wert der Teststatistik ein.
Hinweis: Wenn Sie Aufgabenteil a) nicht lösen konnten, verwenden Sie hierfür: t =
6, 5.
d) Markieren Sie den Fehler 1. Art in Ihrer Zeichnung aus Teilaufgabe c) und erläutern
Sie den Begriff des Fehlers 1. Art kurz (1-2 Sätze) im Allgemeinen.
e) Was versteht man unter einem Fehler 2. Art im Allgemeinen (kurz, d.h. 1-2 Sätze)?
Ist dieser in der Regel quantifizierbar?
Lösung zu Aufgabe 1
a)
P (schwarz aus U1 ) = 0.6
P (schwarz aus U2 ) = 0.44
b) n(2 schwarze Kugeln) = 3
c) P (2. Kugel weiß|1. Kugel schwarz) = 0, 5
d) P (U1 |Kugel weiß) =
e)
18
43
Hypergeometrische Verteilung


P (k) =
S
k


N −S
n−k



N
n



mit
k: Anzahl schwarzer Kugeln
S: Anzahl schwarzer Kugeln gesamt
N : Anzahl Kugeln gesamt
f) p(3) = 0, 4079
Lösung zu Aufgabe 2
a) Eine Zufallsvariable die jeden Wert innerhalb eines Zahlenintervalls annehmen kann
b)
– Die Dichtefunktion nimmt nur positive Werte an.
– Die Fläche unter der Kurve ist 1.
Pn
z
ˆ L = i=1 i = 2, 475
c) λM
n
Pn
i=1 zi
= E(z1 )+E(zn2 )+...E(zn ) =
d) E
n
e) e1) 1 − F (2, 475) = 0, 3679
e2) F (5) − F (3) = 0, 1650
nλ
n
=λ
Lösung zu Aufgabe 3
a) Skizze:
0.20
Dichtefunktion von R2
0.15
0.1995
f(x)
0.00
0.05
0.10
0.121
−5
0
5
10
x
b) P (4 < X < 6) = 0, 251
c) P (R1 + R2 = 12) = 0
d)
R̄1 ∼ N (5; 10
20 )
4
R̄2 ∼ N (3; 20
)
e)
E(R̄1 − R̄2 ) = 2
V ar(R̄1 − R̄2 ) = 0, 5736
f)
H0 : D̄ = 0
T = 2, 03 < t1− α2 ;n−1 = 2, 093 ⇒ H0 nicht verwerfen
Lösung zu Aufgabe 4
a) Mittelwerttest bei unbekannter Varianz
H0 : µ ≤ 50
T = 6, 1237 > λ0,95 = 1, 6448 ⇒ H0 verwerfen
Die Vermutung, dass ordnungsgemäße Inspektionen durchgeführt wurden, wird
unterstützt.
b) Richtig.
Begründung: Je größer die Stichprobenvarianz, desto kleiner die Prüfgröße, welche
dann in nicht den Ablehnungsbereich der Nullhypothese fällt.
c) Skizze:
0.2
0.1
f(x)
0.3
0.4
Verteilung unter Gültigkeit der Nullhypothese
0.0
Wert der Teststatistik
Fehler 1. Art
−5
0
5
x
d) Der Fehler 1. Art entspricht der Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen,
obwohl sie in Wirklichkeit zufrifft.
e)
Der Fehler 2. Art entspricht der Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese nicht
abzulehnen, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
Diese Wahrscheinlichkeit kann in der Regel nicht quantifiziert werden.