2. Zufallsvariable und Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungsaufgaben
Ü3
FH Campus Wien TM, WS 2016/17
Übungsaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, Blatt 2
8.
(Zwei-Kinder-Problem) Ein Vater hat zwei Kinder. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass er zwei Töchter hat
(a) ohne weitere Information,
(b) wenn man weiß, dass das ältere Kind ein Mädchen ist,
(c) wenn man weiß, dass mindestens eines der Kinder ein Mädchen ist,
(d) wenn man weiß, dass mindestens eines der Kinder ein Mädchen ist, das an einem
Sonntag geboren wurde?
Annahme: Man gehe davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für Knaben- und Mädchengeburten gleich hoch ist, und auch die Geburten auf die Wochentage gleich verteilt sind.
(Ergebnis für (d): 13/27)
9.
Für den Posten von 10000 Antriebswellen aus Aufgabe 3. berechne man, wie viel % aller
Wellen (a) Ausschuss sind bzw. (b) nachbearbeitet werden müssen, und zwar jeweils
unter der Annahme, dass der Durchmesser der Wellen außerhalb der Toleranzgrenzen
liegt.
10. Die Prüfstelle eines Betriebes erhält zwei Behälter mit Formteilen, welche auf zwei verschiedenen Automaten hergestellt wurden. Im ersten Behälter mögen sich 20000 Teile
befinden, von denen 4 % Ausschussstücke sind, während der zweite Behälter 5000 Teile
mit einem Ausschussprozentsatz von 1 % enthalte. Die Teile beider Behälter werden
vermischt, und ein Prüfer entnimmt der Mischung einen Teil.
(a) Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er gerade ein Ausschussstück
erhält?
(b) Berechen Sie ferner die a posteriori-Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein zufällig
gefundenes Ausschussstück aus dem ersten bzw. aus dem zweiten Behälter stammt.
11. In einer bestimmten Fremdenverkehrsregion Österreichs fahren Einheimische im Winter
erfahrungsgemäß mit 5% Wahrscheinlichkeit mit Sommerreifen, Touristen dagegen mit
20% Wahrscheinlichkeit. An einem schönen Wintertag sei das Verhältnis der einheimischen Autos zu Touristenautos 2:1.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dann ein zufällig ausgewähltes Auto Sommerreifen?
(b) Eines der Autos ist wegen Sommerreifen hängen geblieben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gehört es einem Touristen?
2. Zufallsvariable und Verteilungen
12. Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X, welche die Werte 20, 40, 60, 80 und 100
annimmt. Dabei gelte P(X = 20) = 0,5, P(X = k) = 0,15 für k = 40,60,80 und P(X = 100)
= 0,05. Man skizziere die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x), die Verteilungsfunktion F(x)
und berechne den Erwartungswert E(X) sowie die Varianz Var(X).
Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungsaufgaben
Ü4
13. Für eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ = E(X) ≠ 0 und Varianz σ2 = Var(X) ist
der Variationskoeffizient ν von X definiert durch ν = σ / µ. Wie groß ist der Variationskoeffizienten für die Augenzahl beim Würfeln mit einem gewöhnlichen Würfel? Zeigen
Sie allgemein, dass der Variationskoeffizient einer Variablen X invariant gegenüber der
Multiplikation mit einem festen Faktor a ist, d.h. ν (aX) = ν (X) für alle a ∈ —.
14. Mit Hilfe der Rechenregeln für den Erwartungswert zeige man allgemein: Der Erwartungswert E(X − α)2 der quadratischen Abweichung einer Zufallsvariablen X von einem
Wert α ist dann am kleinsten, wenn α gleich dem Mittelwert µ von X ist.