Mathematik B für Molekulare Biotechnologie

Universität Heidelberg
Interdisziplinäres Zentrum
für Wissenschaftliches Rechnen
Dr. Stefan Körkel
Bärbel Janssen
Carmen Ellsässer
Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Klausur 2
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
(a) Was ist ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P )?
(b) Was sind Ereignisse und was Elementarereignisse?
X
(c) Warum gilt: ∀A ⊂ Ω : P (A) =
P ({ω})?
ω∈A
(d) Beweise: ∀A, B ⊂ Ω : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
6 Punkte
2. Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum
Was ist ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum? Gib ein Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum, der Laplacesch ist und eins für einen, der nicht Laplacesch ist.
3 Punkte
3. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Seien (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, A, B ⊂ Ω und P (B) > 0.
(a) Wie ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A|B) von A bei gegebenen B definiert?
(b) Sei AC = Ω \ A das Komplement von A. Zeige: P (AC |B) = 1 − P (A|B).
(c) Wie lautet die Formel von Bayes?
5 Punkte
4. Anwendung der Formel von Bayes
An einer Hochschule, an der 40% der Studierenden Frauen sind, studieren 10% der männlichen Studenten und 25% der Studentinnen Biotechnologie.
• Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß ein Studierender der Biotechnologie männlich ist.
• Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß jemand, der nicht Biotechnologie studiert,
eine Frau ist.
6 Punkte
5. Zufallsvariablen
Seien (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → eine reelle Zufallsvariable. Sei B ⊂ . Wie ist die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ B) definiert?
3 Punkte
6. Erwartungswert und Varianz
Wie sind Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen definiert auf einem endlichen
bzw. auf einem kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsraum?
Zeige: V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 .
6 Punkte
7. Roulette
Beim Roulette werde jede der Zahlen 0 bis 36 mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen.
18 Zahlen sind rot, 18 Zahlen sind schwarz und eine Zahl ist grün (die Null). Wenn man
auf Rot oder Schwarz setzt und die entsprechende Farbe gezogen wird, erhält man das
Doppelte seines Einsatzes als Gewinn, ansonsten wird der Einsatz einbehalten.
Wie groß ist der erwartete Gewinn, wenn ich 10 Euro auf Rot setze?
Beschreibe einen geeigneten endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) für das Roulettespiel und eine Zufallsvariable X : Ω → , die den Gewinn für 10 Euro auf Rot“ angibt.
”
Berechne den Erwartungswert der Zufallsvariablen.
4 Punkte
8. Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume
Sei Ω ⊂
ein eigentliches oder uneigentliches Intervall.
(a) Was ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf Ω?
(b) Wie ist bzgl. der Wahrscheinlichkeitsdichte die Wahrscheinlichkeit P ([a, b]) des Intervalls [a, b], a, b ∈ Ω definiert?
3 Punkte
9. Normalverteilung
(a) Wie lautet die Dichte fµ,σ2 der Normalverteilung N (µ, σ 2 ) mit Parametern µ und
σ 2 ? Wo konnte man diese Formel bis 2001 ständig nachlesen? Was bedeuten die
Parameter µ und σ 2 ?
(b) In Tabellen sind nur Zdie Werte der Standard-Normalverteilung N (0, 1) aufgeführt,
z
f0,1 (t)dt. Wie berechnet man daraus für eine N (µ, σ 2 )-
und zwar Φ(z) :=
−∞
verteilte Zufallsvariable die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ [a, b]) des Intervalls [a, b]?
(Mit Begründung.)
5 Punkte
10. Ableitungen im
n
Erläutere die Begriffe partielle Ableitung, Tangentialvektor, Gradient, Jacobimatrix und
Hessematrix. Für welche Funktionen f : ? → ? haben wir diese Ableitungen definiert?
5 Punkte
11. Mathematik für Biotechnologen
Welche Themen haben wir dieses Semester behandelt? Und welche letztes Semester?
4 Punkte